matematikk.net

Har tentamen på mandag og har samlet sammen et par oppgaver jeg lurer på:

Oppgave 1
a) Finn de eksakte løsningen

1) cos x = - √2/2 , X [0, 2pi> 2) sin (pi/2 X) = - √3/2 , X [0, 4]

b) Finn integralene

1) ∫6sin2x dx 2) ∫(2x + 1)e^x dx 3) ∫4xe^x²+2

Oppgave 2

a)Figuren nr 1 nedenfor viser en sirkel med radius 4 som er delt i fire deler (tre ringer og en sirkelflate). Hver ring har bredden 1. Finn arealet av hver av ringene og bruk det til å hvise at: 1 + 3 + 5 + 7 = 4²



b) Figur nr2 viser en sirkel med radius n. Inne i sirkelen er det tegnet en ring med bredde 1. Finn et uttrykk for arealet av ringen.

c) forklar hvordan du kan bruke sirkel nr2 til å vise at summen av de n første oddetallene er lik n^2

d) Vis ved regning at summen av de n første oddetallene er lik n^2

e) figur nr3 er sammensatt av mange sirkler m samme sentrum. Den største har radiusen 1 den andre 1/2den tredje 1/4 osv. Bruk figuren til å finne summen av den uendelige rekken 3/4 +3/16+3/64 ...

Oppgave 3
a) En glødende stang blir avkjølt fra 1000 *C til romtemperatur på 22 *C. Temperaturen T i *C til stanga X minuter etter at avkjølningen startet, er gitt ved: T(x) = 22+978e^ -0,1x

c) hvor mange grader synker temperaturen per minutt etter:
1) 10min 2) 40min

d) regn ut gjenomsnittet av starttemperaturen og temperaturen etter 60min.


Gjennomsnittsverdien for en kontinuerlig funksjon F over et intervall [a,b] er definert ved intergralet:
b
1/b - a ∫f(x)dx
a

e) finn gjennomsnittsverden til T(x) de første 60min ved regning

f) forklar hvorfor det blir forskjellige svar i d) og e)

Hadde vært trivelig om noen hadde greid og løse disse oppgavene

[/img]

Skal prøve å løse oppgavene, men dine tegninger er særdeles misvisende.

Update 1: har gjort oppgave 1 og oppgave 2 - klokken nærmer seg veldig sent, og greier å vidt å holde øyenene oppe, så hvis ingen har svart op oppgave 3 før jeg står opp i morra, kan jeg ta den også..

Oppgave 1)
a) Cos(x) = -[rot][/rot]2/2 x{[0,2[pi][/pi]}
Arccos på begge sider (cos^-1)

x_1 = 3[pi][/pi]/4
Den andre løsningen finner man ved å ta 2 [pi][/pi] - 3[pi][/pi]/4
x_2 = 2 [pi][/pi] - 3[pi][/pi]/4 = 5[pi][/pi]/4

x{3[pi][/pi]/4 , 5[pi][/pi]/4}

b)
sin([pi][/pi]/2x) = -[pi][/pi][rot][/rot]3/2
du skrev x[0,4] ? vet ikkeh va du mente med det så tar x[0,2pi]
arcsin
[pi][/pi]/2x = -[pi][/pi]/3

Dette er da i feil kvadrant tar vi [pi][/pi] -(-[pi][/pi]/3)
[pi][/pi]/2x = 4[pi][/pi]/3
2x_1 = 3/4
x_1 = 3/8

For å finne x_2 tar vi 2[pi][/pi] - [pi][/pi]/3 = 5[pi][/pi]/3
[pi][/pi]/2x_2 = 5[pi][/pi]/3
x_2 = 3/10

x{3/8 , 3/10}

Oppgave 2:
[itgl][/itgl](6*Sin[2x] dx = 6*[itgl][/itgl]*Sin[2x] dx = 6*-Cos[2x]/2 + C
= -3*Cos[2x] + C

2)
[itgl][/itgl](2x+1)*e^x dx = 2*[itgl][/itgl]x*e^x dx + [itgl][/itgl]e^x dx
= 2*(x*e^x - [itgl][/itgl]e^x dx) + ([itgl][/itgl]e^x dx)
=2*xe^x - e^x +C = e^x(2x-1) + C

3) [itgl][/itgl](4*x*e^(x^2) + 2) dx = 4*[itgl][/itgl]*xe^(x^2) dx + [itgl][/itgl] 2 dx = 2x + 2[itgl][/itgl]2xe^(x^2) dx = 2x + 2*[itgl][/itgl]du/dx*e^u dx = 2x + e^u = 2x + 2*e^(x^2) = 2(x+e^(x^2)) + C

Stor oppgave 2
A(minste) = [pi][/pi]
A(nr2) = 2^2[pi][/pi] - [pi][/pi] = 3[pi][/pi]
A(nr3) = 3^2[pi][/pi] - 3[pi][/pi] - [pi][/pi] = 5[pi][/pi]
A(nr4) = 4^2[pi][/pi] - 5[pi][/pi] - 3[pi][/pi] - [pi][/pi] = 7[pi][/pi]

A(hele) = 4^2[pi][/pi] = 16[pi][/pi]

A(minste) + A(nr2) + A(nr3) + A(nr4) = A(hele) =
[pi][/pi] + 3[pi][/pi] + 5[pi][/pi] + 7[pi][/pi] = 4^2[pi][/pi]

[pi][/pi](1+3+5+7) = 4^2[pi][/pi]

1+3+5+7 = 4^2

2) A(ring) = An - A(n-1)
= [pi][/pi]n^2 - [pi][/pi]*(n-1)^2
= [pi][/pi] - [pi][/pi](n^2 - 2n + 1)
= -2[pi][/pi]n +[pi][/pi] = [pi][/pi](2n-1)

3) Tenke litt på denne... Er for trøtt:)

4) a_n=1+(n-1)*2 = 1 + 2n -2 = 2n - 1

Sn (a_1 + a_n)*n/2 = (1+2n-1)*n/2 = n^2

5) Du ser lett utifra figuren at svaret må bli 1 til sammen, hvilket radien er.. a_1/(1-k) = (3/4)/(1-(1/4)) = 1

resten har jeg desverre ikke sett på, tar'e imora

b)
sin(π/2x) = -π√3/2
du skrev x[0,4] ? vet ikkeh va du mente med det så tar x[0,2pi]
mente x[0,4]


Tusen takk for hjelpen

Vet at tegningene kan være misvisende, er ikke verdensmester på paint enda

På oppagave 3e:vil ikke a være 0 der?

og hvis jeg har forstått deg riktig vil du ha
(1/b) - a*int(f(x)dx)?

Er det jeg som tar feil intervall? Eller er det bare noe rart med oppgaven..
Har løst alt sammen nå, utenom denne

edit: teit spm

Nok en "konge tegning" [/img]

da hadde jeg løst den riktig i første omgang, bare syntes svare ble litt lite, men men..

Oppgave 3)
c) T(x) = 22+978e^ -0,1x
T'(x)= -97.8*e^-0.1x
T'(10) = -97.8*^(-0.1*10) = -36 grader/min
T'(40) = -97.8*^(-0.1*40) =-1.8 grader / min

d)
T(60) = 22+978e^-0.1*60 = 24.4grader

(T(0)+T(60))/2 = (1000+24.4)/2 = 512grader

e)
b
1/(b - a) ∫f(x)dx
a
b = 60min
a = 0min

60 60
1/(60)* ∫(22+978e^ -0,1x) dx =1/60 * [22x - 9780*e^-0.1x] =
0 0

(1296 -(-9780))/60 = 184.6grader

f) fordi grafen ikke er lineær...

Oppgave: 2c)

Tenk deg at du legger inn fler og fler ringer i sirkelen og bruker samme tankegang som på opggave a)

vi vet at det totale arealet er pi*n^2 =>

(1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1))*pi = pi*n^2

jmf oppgave a

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n^2

2n-1 = formen et oddetall er gitt på

Signaturen Candela har glemt minustegnet i den deriverte av T(x). Det skal altså være T'(x) = -97,8e[sup]-0,1x[/sup].

Solar Plexsus skrev:Signaturen Candela har glemt minustegnet i den deriverte av T(x). Det skal altså være T'(x) = -97,8e[sup]-0,1x[/sup].

sant det:) *rettet opp*

update: hadde det på kladden

Tusen hjertelig takk...dere er jo bedre en læreren vår

Hvor gammel er dere foresten?

går VKII allmenn jeg, og er 18år