matematikk.net

Uordnet utvalg med tilbakelegging
I den siste urnemodellen tar vi ikke hensyn til rekkefølgen ballene trekkes i, men vi skal legge ballene tilbake i urnen etterhvert. Det sentrale er derfor hvor mange ganger hver av de n ballene har blitt trukket ut. Hvis, for eksempel, n = 3 og k = 5, er ett mulig resultat at vi trekker ball nummer 1 to ganger, ball nummer 2 tre ganger, og ball nummer 3 ingen ganger.

Vi kan se for oss dette på en annen måte. Vi har k identiske baller, og n nummerte beholdere, og vi skal plassere de k ballene i beholderne. Det viktige er ikke hvilke baller som havner i hvilke beholdere, men hvor mange baller som havner i beholder 1, hvor mange som havner i beholder 2, og så videre.

I eksempelet ovenfor, vil beholder 1 få to baller, og beholder 2 få tre baller, mens beholder 3 forblir tom. En måte å representere det på er følgende måte:

OO|OOO|
Her representerer sirkelen en ball, mens de vertikale strekene representerer skilleveggen mellom beholderne. På samme måte vil for eksempel

O|OO|OO
innebære at beholder 1 inneholder én ball, mens beholder 2 og 3 inneholder to baller hver.

Man ser da at antall uordnede utvalg når man trekker k baller ut av en urne med n baller med tilbakelegging, er det samme som antall måter man kan arrangere k sirkler og n-1 vertikale streker på en linje. Svaret på dette er

[tex]{n+k-1 \choose k}[/tex].