matematikk.net

Hei!

Regner meg gjennom gamle eksamenssett for å forberede meg til min egen eksamen på torsdag, og har kommet til en oppgave jeg ikke helt forstår, rett og slett. Oppgaveteksten lyder som følger:

En trekant $ABC$ er gitt ved at $AB=10$ og $\angle A = 30 ^{\circ}$

a) Angi det intervallet lengden på side $BC$ på ligge i for at vi skal kunne få to ulike trekanter.

b) Regn ut sider og vinkler i $ABC$ dersom $BC=8$.

Her skjønner jeg egentlig ikke helt hva jeg skal regne på for å finne intervallet BC skal ligge i, for jeg er ikke helt sikker på hvilke forutsetninger som ligger til grunn for at BC skal kunne danne to ulike trekanter. Noen tips?

Hei! Se på vedlagte figur. Om BC er lengre enn den røde streken får du to mulige plasseringer av C - enten til høyre eller venstre, som vist i blått. Altså begynner intervallet med lengden av den røde streken. Denne kan du regne ut ved å se på den rettvinklede trekanten ABX, der X er det røde punktet. Det slutter der BC blir så stor at det ene punktet "faller utenfor" A, dvs når BC=AB=10. Altså slutter intervallet i 10.

Om dette ikke var forståelig kan du gjøre det på en annen måte også. Bruk cosinussetningen på trekant ABC. Den sier deg at $BC^2 = CA^2 + AB^2 - 2\cdot AB \cdot CA \cos 30$. AB vet du hvor lang er, så om du får oppgitt lengden av BC ser du at dette vil være en annengradslikning du kan løse for AC. Denne vil generelt ha to løsninger, som er der de to ulike trekantene kommer fra. Du må derfor sette opp denne likningen (kall $CA = x$, så blir det lettere å se) og så finne ut når den har to løsninger. Hjelper det?

Tusen takk!

Dette hjalp en hel del. Jeg tror rett og slett det var selve forståelsen av oppgaveteksten jeg ikke helt fikk tak i. Men nå ser jeg selvfølgelig at innenfor et visst intervall kan man lage to ulike trekanter, men at for verdier over kan man lage bare én, og for verdier under kan man lage ingen.

Bare for å teste at jeg forsto det:

Kall normalen fra $AC$ til h. Det gir:

[tex]BC\in <h, AB>[/tex]

der

[tex]AB=10[/tex]

og

[tex]sin \angle A=\frac{h}{AB}\Rightarrow h=ABsin\angle A=10sin30^{\circ}=5[/tex]

Derav:

[tex]BC \in <5, 10>[/tex]

EDIT: Man kan selvfølgelig ikke lage trekanter dersom BC er kortere enn h, ettersom den aldri vil nå et punkt på linjen gjennom AC.

Det stemmer!