Binomialfordeling - oppgave 1.143 i Sigma R1, 2. utg

[Lambs-Tykje]

"Læreren lager [...] en prøve med 40 spørsmål og tre svaralternativer til hvert spørsmål. [....] Hvor mange rette må en elev minst ha for ikke å stryke dersom det skal være ca 75 % sannsynlighet for å stryke når eleven tipper på alle oppgavene?"

Jeg bruker formelen =BINOM.DIST(XX, 40,1/3,FALSE) i Excel (XX viser til tallene 0-40 i en annen kolonne). Resultatet blir en fin liste over sannsynlighetsdistribusjonen, der summen av tallene som ventet blir 1. Så prøver jeg meg frem ved å summere sannsynligheten for 0, 1, 2, 3 etc rette, og kommer til at det er 27,3522 % sjanse for å få 12 rette eller færre. Rett svar skulle altså være at eleven bør ha 13 eller flere rette for ikke å stryke hvis læreren ønsker at sjansen for stryk ved ren tipping skal være ca 75 %.

Fasiten i læreboka sier "minst 16 rette". Jeg ser at man kan få dette resultatet ved å bruke formelen =BINOM.DIST(XX, 40,2/3,FALSE) og deretter summere seg "nedenfra" i skjemaet - altså ved å legge sammen sjansene for 40 "bom" (altså riktige svar), 39 etc. Sjansen for mellom 40 og 25 "bom" skulle etter dette være 76,8840 %. Likevel mener jeg at denne regnemåten måler noe annet - nemlig sjansen for å få mellom 25 og 40 rett hvis du hver gang halvgarderer.

Hva er er riktig?

[Drezky]

Vi vet at [tex]P(X=x)\sum_{x=0}^{n}\binom{40}{x}\left ( \frac{1}{3} \right )^x\left ( 1-\frac{1}{3} \right )^{40-x}=0.75[/tex]

Der "x" indikerer hvor mange riktige svar personen får. Vi må summere opp sannsynligheten for å få 1 riktig, 2 riktig ... osv og summen av disse hendingene må bli lik [tex]p=0.75[/tex]
Prøving og feiling i Geogebra gir at:

[tex]P(X=x)\sum_{x=0}^{15}\binom{40}{15}\left ( \frac{1}{3} \right )^{16}\left ( 1-\frac{1}{3} \right )^{40-15}\approx 0.75[/tex]



Dett er ekivalent med [tex]P(X=0)+P(X=1)+...+P(x=15)\approx 0.75[/tex]

[tex]P(X\leq 15)=0.76884[/tex]

Skjønte ikke helt hva du mente med det aller siste i siste avsnitt.

[Lambs-Tykje]

Dett er ekivalent med [tex]P(X=0)+P(X=1)+...+P(x=15)\approx 0.75[/tex]

[tex]P(X\leq 15)=0.76884[/tex]

Skjønte ikke helt hva du mente med det aller siste i siste avsnitt.

Tror det er noe galt med eksponenttegnene i den siste summeligningen, men svaret ditt fikk meg i alle fall til å forstå hvordan jeg hadde tenkt feil. Du har helt rett i at man må summere sannsynlighetene for 1, 2, 3 etc. riktige svar helt til man når opp til ca 75 %, ikke til ca 25 %, som jeg antok. Å bare få tretten rett hvis man tipper, er faktisk ganske usannsynlig!

Takk for svaret, i alle fall.

[Drezky]

Dett er ekivalent med [tex]P(X=0)+P(X=1)+...+P(x=15)\approx 0.75[/tex]

[tex]P(X\leq 15)=0.76884[/tex]

Skjønte ikke helt hva du mente med det aller siste i siste avsnitt.

Tror det er noe galt med eksponenttegnene i den siste summeligningen, men svaret ditt fikk meg i alle fall til å forstå hvordan jeg hadde tenkt feil. Du har helt rett i at man må summere sannsynlighetene for 1, 2, 3 etc. riktige svar helt til man når opp til ca 75 %, ikke til ca 25 %, som jeg antok. Å bare få tretten rett hvis man tipper, er faktisk ganske usannsynlig!

Takk for svaret, i alle fall.

Ja, ser det. Så svaret er 16 ifølge fasit?, siden 15 er på grensen ved stryk