matematikk.net

Hvordan beviser jeg formelen for volum av en kule vha. formelen for volum av omdreiningsgjenstander?

Formelen for volum av omdreiningslegemer ser ut slik:
V=[pi][/pi][itgl][/itgl][sub]a[/sub][sup]b[/sup](f(x))[sup]2[/sup]dx
Denne kan du hente rett ut ifra formelheftet.

Det er to problem i denne oppgaven. Det ene er å bestemme f(x) og det andre er å bestemme a og b.

En kule er en tredimensjonal figur. f(x) er i xy-planet. Kulen er også symmetrisk. Da kan du plassere kulens sentrum i koordinatsystemets origo og se hvilken figur du får når du ser på kulens skjæring med xy-planet. (Du deler altså kulen i to helt like deler og ser på den flaten du får frem.) Det bør ikke være en overraskelse at du nå får en sirkel.

Den matematiske fremstillingen for en sirkel med sentrum i origo er
x[sup]2[/sup]+(f(x))[sup]2[/sup]=r[sup]2[/sup]
Denne formelen finner du også i formelheftet. Jeg har bare satt y=f(x)
Sirkelens radius er r.

Siden vi trenger (f(x))[sup]2[/sup] i integralet kan vi bare bytte om på sirkelfremstillingen og får
(f(x))[sup]2[/sup]=r[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup]

a og b må være sirkelens skjæringspunkt med x-aksen. Siden sirkelen er plassert symmetrisk om origo må
a=-r og b=r.
(Siden jeg bruker (f(x))[sup]2[/sup] trenger jeg ikke tenke på at en funksjon bare kan ha 1 verdi for hver x-verdi.)

Setter inn og regner ut:
V=[pi][/pi][itgl][/itgl][sub]a[/sub][sup]b[/sup](f(x))[sup]2[/sup]dx=[pi][/pi][itgl][/itgl][sub]-r[/sub][sup]r[/sup](r[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup])dx=[pi][/pi][r[sup]2[/sup]x-(x[sup]3[/sup]/3)][sub]-r[/sub][sup]r[/sup]=[pi][/pi][r[sup]3[/sup]-(r[sup]3[/sup]/3)+r[sup]3[/sup]-(r[sup]3[/sup]/3)=[pi][/pi][2r[sup]3[/sup]-(2r[sup]3[/sup]/3)]=[pi][/pi][(6r[sup]3[/sup]-2r[sup]3[/sup])/3=4[pi][/pi]r[sup]3[/sup]/3
q.e.d.

Tusen takk for utfyllende svar, og takk for hjelpen:)