likning løsning (hvordan?)

[matha]

Hei, jeg hadde satt pris på en forklaring til hvordan man tenker når man løser et slikt problem som jeg skal presentere nå:

[tex]\sqrt{2}cos2x+\sqrt{2}sin2x=0[/tex]

Jeg begynner med å dele hvert ledd på [tex]cos2x[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{2}cos2x}{cos2x}+\frac{\sqrt{2}sin2x}{cos2x}=\frac{0}{cos2x}[/tex]

Jeg antar vel her at [tex]cos2x\neq 0[/tex]

Så får jeg: [tex]\sqrt{2}tan2x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow tan2x=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-1[/tex]

Så starter problemet..

Jeg tar først invers på begge sider og får at [tex]tan^{-1}(tan2x)=2x[/tex]
og [tex]tan^{-1}(-1)=-45grader=-\frac{\pi}{4}[/tex]

Så får jeg at [tex]2x=-\frac{\pi}{4}+n*\pi\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{8}+n*\frac{\pi}{2}[/tex]
dette skal være den generelle løsningen men er feil


fasiten oppgir at [tex]tan^{-1}(-1)=\frac{3\pi}{4}[/tex]
og bruker dette videre: [tex]2x=\frac{3\pi}{4}+n*\pi\Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{8}+n*\frac{\pi}{2}[/tex]
Men jeg skjønner ikke hvordan de har tenkt med at [tex]tan^{-1}(-1)=\frac{3\pi}{4}[/tex] ?

Jeg vet jo at tangens er periodisk hver 180 grader eller pi. så da må vel de har gjort noe slik som [tex]tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}[/tex]? Men det jeg ikke forstår er hvorfor de velger å skrive det på denne måten når man kan bare sette inn [tex]n=1[/tex] ? Hvorfor plusser de på pi/180 grader? de vinklene har jo samme tangensverdi, men hvorfor kan de ikke bare bruke den negative vinkelen?

takker for svar!

[Gjest]

noen som kunne svart meg? har vanskeligheter med å aksepetere dette uten en begrunnelse...

[Aleks855]

Det virker som du har skjønt nøyaktig hva som foregår, og strengt tatt så er begge svarende riktige.

Spørsmålet "hvorfor ikke bare bruke den negative verdien?" er like godt som "hvorfor ikke bare bruke den positive verdien?". Dette er dog helt opp til forfatteren av oppgaven.

Man kan for eksempel si at $\frac{3\pi}{4} + (-1)\pi = -\frac\pi4$, her med $n = -1$.

Rett og slett er dette fordi $\arctan(-1)$ har uendelig mange løsninger, men kun to på intervallet $[0, 2\pi)$. Fasiten har valgt å bruke løsningen i andre kvadrant, du har valgt å bruke den i fjerde kvadrant, dog den negative.

Hva som er "mer riktig" er ikke opp til meg å si, men jeg ville valgt fasitens verdi, om enn fordi den ligger innenfor det vi kaller "første omløp" som er det samme som $[0, 2\pi)$.

[kreativitetNO]

Definisjonsmengden til x burde vel stå i oppgaven? Enten i selve deloppgaven eller som en fellesmengde i teksten foran en hel rekke deloppgaver?