irriterende trigonometri-oppgave

[Larsik]

finn vinklene u,v [tex]\epsilon[0,\pi)[/tex] slik at [tex]sin(x+u)+cos(x+v)=\sqrt2*cosx[/tex]

prøvde å bruke formelen for sum av vinkler men kommer ingen vei videre der. Noen andre triks som må til?

[Drezky]

Er dette under trignometri i R2?

Hmm,,

vet jo at
[tex]sin(x+u)=sinx*cosu+cosx*sinu[/tex]
[tex]cos(x+v)=cosx*cosv-sinx*sinv[/tex]

Hva med å sammenligne koeffisientene i uttrykket?

[tex]\sin (x)+\cos (u)+\cos (x)*\sin (u){\color{Red} {+}} \cos (x)*\cos (v)-\sin (x)*\sin(v)=\sqrt{2}*\cos (x)\Leftrightarrow \cos(x)\left (\cos (v)+ \sin (u) \right )+\sin (x)(-\sin (v)+\cos (u))=\sqrt{2}*\cos (x)\Rightarrow \cos (v)+\sin (v)=\sqrt{2}\wedge \-sin (v)+\cos (u)=0[/tex]

må se på denne litt nærmere i kveld...

[Janhaa]

vet jo at
[tex]\sin(x+u)=\sin x*\cos u+\cos x*\sin u[/tex]
[tex]cos(x+v)=\cos x*\cos v-\sin x*\sin v[/tex]

hvis du ser på Drezky sine formler og forslag, sees at

[tex]\cos(v)+\sin(u)=\sqrt{2}[/tex]
og
[tex]\cos(u)-\sin(v)=0[/tex]
DVs
[tex]u=v=\pi/4[/tex]

[Drezky]

Så svaret til Janhaa dukke opp,mens jeg satt og skrev..
[tex]\sin (x+u)+\cos (x+v)=\sqrt2*\cos x[/tex]

Bruker at:
[tex]\sin(a+b)=\sin (a)*\cos (b)+\cos (a)*\sin (b)[/tex]

[tex]\cos (a+b)=\cos (a)*\cos (b)-\sin (a)*\sin (b)[/tex]

[tex]\sin (x+u)=\sin (x)* \cos (u)+\cos (x)*\ sin (u)[/tex]

[tex]\cos (x+v)=\cos(x)*\ cos (v)-\sin (x)*\sin (v)[/tex]

Likninga kan omformes til:
[tex]\left (\sin (x)* \cos (u)+\cos (x)*\ sin (u) \right )+\left ( \cos(x)*\ cos (v)-\sin (x)*\sin (v) \right )=\sqrt{2} * \cos (x)[/tex]

Faktoriserer
VS:

For å gjøre det mer oversiktlig innfører jeg et par subsitusjoner
[tex]A=\sin (x)[/tex]
[tex]B=\cos (u)[/tex]
[tex]C=\cos (x)[/tex]
[tex]D=\sin (u)[/tex]
[tex]E=\cos (v)[/tex]
[tex]F=\sin (v)[/tex]

Dermed er
[tex]\left (A*B+C*D \right )+\left ( C*E-A*F \right )=\sqrt{2}*C\Rightarrow (AB+CD)+(CE-AF)=\sqrt{2} \, C[/tex]

Trekker ut felles faktor = [tex]\cos (x)=C[/tex] og [tex]\sin (x)=A[/tex]


[tex]C(E+D)+A(B-F)=\sqrt{2}*\cos (x)[/tex]


Vet ikke hvorfor dette kan betraktes som en vektorlikning som gir to talllikninger men

[tex]E+D=\sqrt{2}[/tex] og [tex](B-F)=0[/tex]

[tex]B-F=0\Leftrightarrow \cos (u)=\sin (v)[/tex]

Som gir d Janhaa skrev..

[Dolandyret]

Du får [tex]\cos(v)+\sin(u)=\sqrt2[/tex] og [tex]\cos(u)-\sin(v)=0[/tex] når du sammenligner koeffisienter. Koeffisienten forran [tex]\cos(x)[/tex] leddet på VS må være lik koeffisienten til [tex]\cos(x)[/tex] leddet på HS, som da er [tex]\sqrt2[/tex]. Og siden vi ikke har noe [tex]\sin(x)[/tex] ledd på HS, må koeffisienten forran [tex]\sin(x)[/tex] leddet på VS være lik 0.

[Drezky]

Du får [tex]\cos(v)+\sin(u)=\sqrt2[/tex] og [tex]\cos(u)-\sin(v)=0[/tex] når du sammenligner koeffisienter. Koeffisienten forran [tex]\cos(x)[/tex] leddet på VS må være lik koeffisienten til [tex]\cos(x)[/tex] leddet på HS, som da er [tex]\sqrt2[/tex]. Og siden vi ikke har noe [tex]\sin(x)[/tex] ledd på HS, må koeffisienten forran [tex]\sin(x)[/tex] leddet på VS være lik 0.

Det var jeg full klar over, men jeg var litt i tvil om man kunne konkludere med det f.eks.

hvis [tex]\left [ a,b \right ]=\left [ 6,4 \right ]+\left [ -s,3s \right ] \Longleftrightarrow a=6-s \wedge b=4+3s[/tex]

vanlig vektorlikning som gir to tall likninger ^^

Men ja, koeffisientene må være like, var bare i tvil om dette momentet kunne overføres til en trignometrisk likning, men det er jo åpenbart