Plan som skal skjære hverandre

[TorV]

Skal finne en likning for et plan gjennom (1,1,1) og (2,0,3) vinkelrett på planet x+2y-3z = 0. Får det ikke til

[Solar Plexsus]

La oss kalle planet som har disse egenskapene for [pi][/pi]. Anta at n[sub]1[/sub]=<1,b,c> er en normalvektor til [pi][/pi]. Siden punktet (1,1,1) ligger i planet [pi][/pi], blir likningen for [pi][/pi]

(1) 1*(x - 1) + b*(y - 1) + c*(z - 1) = 0

Det faktum at punktet (2,0,3) også ligger i planet [pi][/pi] gir

(2) 1 - b + 2c = 0 (Setter x=2, y=0 og z=3 i (1))

I.o.m. at [pi][/pi] står vinkelrett på planet x + 2y - 3z = 0 som har normalvektoren n[sub]2[/sub]=<1,2,-3>, blir skalarproduktet

(3) n[sub]1[/sub] ∙ n[sub]2[/sub] = <1,b,c> ∙ <1,2,-3> = 1 + 2b - 3c = 0.

Samlet gir (2) og (3) oss at b - 2c = 1 og 2b - 3c = -1. Løser vi dette likningssettet, finner vi at b=-5 og c=-3. Settes disse verdiene for b og c inn i (1), får vi at likningen for planet [pi][/pi] blir

x - 5y - 3z + 7 = 0.

[St. Hans]

Finfint! Jeg skjønte alt, bortsett fra en ting i starten, hvorfor kan vi " anta at n1=<1,b,c> er en normalvektor til [pi][/pi]."