Derivasjon

[Gjest]

Gitt funksjonen f(x) = (4/3)x^3 - 2x^2

a) Tegn grafen til funksjonen f

b) Finn koordinatene til topp- og bunnpunktet ved regning

c) Finn ved regning vendepunktet til grafen

d) Hvor er den momentane vekstfarten minst? (Det er der grafen synker raskest)

e) Hvor stor er den momentane vekstfarten i dette punktet?

[Solar Plexsus]

b) Derivasjon av f(x) = (4/3)x[sup]3[/sup] - 2x[sup]2[/sup] gir

f'(x) = 4x[sup]2[/sup] - 4x = 4x(x - 1).

Vha. av et fortegnsskjema for f '(x) kan man vise at

* (0,f(0)) = (0,0) er et (lokalt) toppunkt.
* (1,f(1)) = (1,-2/3) er et (lokalt) bunnpunkt.


c)

f''(x) = 8x - 4 = 8(x - 1/2).

Herav følger at f har kun har vendepunktet (1/2 f(1/2)) = (1/2,-1/3).


d) Den momentane vekstfarten f'(x) er minst der f''(x)=0 og f'(x)<0. Det eneste punktet som oppfyller disse to kriteriene, er vendepunktet (1/2,-1/3).


e) I dette punktet er den momentane vekstfarten lik

f'(1/2) = 4*(1/2)*(1/2 - 1) = 2*(-1/2) = -1.