matematikk.net

Heisan!

Gitt pyramide ABCP, der A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,4)
Toppunkt P ligger på linja [tex]\vec{r}(t)=[t,t,2t][/tex]

Oppgaven er å finne et uttrykk for Volum gitt ved t, V(t).

Her sliter jeg når jeg kommer til absoluttverdi og hvordan normalen for grunnplanet funker sammen med vektoren AP

Jeg har funnet [tex]\vec{n_{\alpha }}=[8,8,4][/tex] og bruker [tex]\vec{AP}=[t-2,t,2t][/tex] for å representere en vektor til toppunktet.

Når jeg har prøvd og sette dette inn i formelen for volumet av en pyramide ved vektorer, så kommer jeg nærme men aldri helt fram til hva boka hevder er riktig svar.

Jeg får [tex]V_{t}=\frac{1}{6}\cdot |\vec{n_{\alpha }}\cdot \vec{AP}|=\frac{8}{3}|t|[/tex]

Men riktig svar er oppgitt som [tex]\frac{4}{3}|t|[/tex]

Er et par punkter jeg kan tenkte meg hvor dette har gått galt, som nevnt hva som skjer inne i absoluttverdien mellom vektorene som utspenner planet og vektoren for toppunktet, og så er jeg litt usikker på selve toppvektoren.

Kunne noen gått igjennom hva som skjer her, slik at jeg kan finne ut hva som har gått galt?

Takk for hjelpen!

[tex]\vec{AB}=\left [ 0,2,0 \right ][/tex]
[tex]\vec{AC}=\left [ 0,0,4 \right ][/tex]
[tex]\vec{AP}=\left [ t,t,2t \right ][/tex]
[tex]\vec{n}=\vec{AB} \times \vec{AC}=\left [ 8,0,0 \right ][/tex]

[tex]V(t)=\frac{1}{6}*\left | \left ( \vec{AB}\times \vec{AC} \right ) *\vec{AP}\right |=\frac{4}{3}\left | t \right |[/tex]

Først innmat i absoluttegn, deretter kvadratrot og *1/6

Drezky skrev:[tex]\vec{AB}=\left [ 0,2,0 \right ][/tex]
[tex]\vec{AC}=\left [ 0,0,4 \right ][/tex]
[tex]\vec{AP}=\left [ t,t,2t \right ][/tex]
[tex]\vec{n}=\vec{AB} \times \vec{AC}=\left [ 8,0,0 \right ][/tex]

[tex]V(t)=\frac{1}{6}*\left | \left ( \vec{AB}\times \vec{AC} \right ) *\vec{AP}\right |=\frac{4}{3}\left | t \right |[/tex]

Først innmat i absoluttegn, deretter kvadratrot og *1/6

Jeg skjønner ikke hvorfor du får AB = [0,2,0] og AC=[0,0,4]? Er ikke det heller OB, og OC?

Skal ikke disse to bli funnet på formen AB=[xb-xa, yb - ya, zb - za] = [0-2, 2 - 0, 0 - 0]

MrLorgy skrev:Heisan!

Gitt pyramide ABCP, der A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,4)
Toppunkt P ligger på linja [tex]\vec{r}(t)=[t,t,2t][/tex]

Oppgaven er å finne et uttrykk for Volum gitt ved t, V(t).

Her sliter jeg når jeg kommer til absoluttverdi og hvordan normalen for grunnplanet funker sammen med vektoren AP

Jeg har funnet [tex]\vec{n_{\alpha }}=[8,8,4][/tex] og bruker [tex]\vec{AP}=[t-2,t,2t][/tex] for å representere en vektor til toppunktet.

Når jeg har prøvd og sette dette inn i formelen for volumet av en pyramide ved vektorer, så kommer jeg nærme men aldri helt fram til hva boka hevder er riktig svar.

Jeg får [tex]V_{t}=\frac{1}{6}\cdot |\vec{n_{\alpha }}\cdot \vec{AP}|=\frac{8}{3}|t|[/tex]

Men riktig svar er oppgitt som [tex]\frac{4}{3}|t|[/tex]

Er et par punkter jeg kan tenkte meg hvor dette har gått galt, som nevnt hva som skjer inne i absoluttverdien mellom vektorene som utspenner planet og vektoren for toppunktet, og så er jeg litt usikker på selve toppvektoren.

Kunne noen gått igjennom hva som skjer her, slik at jeg kan finne ut hva som har gått galt?

Takk for hjelpen!

Vi har at $\vec{AB} = \left[-2,2,0\right], \vec{AC} = \left[-2,0,4\right]$ og $\vec{AP} = \left[t-2,t,2t\right]$.

Det er feil i fasiten din. Dersom $V(t) = \frac43|t|$ hadde vært korrekt, hadde vi hatt at $V(0) = 0$, altså at $\vec{r}(0)$ ligger i planet $\alpha$ som går gjennom $A, B$ og $C$. Vi kan enkelt sjekke at dette ikke er tilfellet: Vi har at $$\vec{AB}\wedge\vec{AC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4\end{vmatrix} = \left[8, 8, 4\right],$$ så vi kan bruke $\vec{n}_{\alpha} = \left[2,2,1\right]$ som normalvektor for planet $\alpha$. Dermed får vi en likning for planet $\alpha$: $$\alpha: 2(x-2) + 2y + z = 0,$$ og vi ser at $(0,0,0)$ ikke ligger i planet. Altså får vi ikke en "flat" pyramide (med volum $0$) når $t=0$, så $V(t) = \frac43|t|$ kan ikke være riktig uttrykk for $V$.

Bruker vi formelen for volum av tetraeder får vi at volumet $V$ er gitt ved $$V(t) = \frac16|\begin{vmatrix} -2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \\ t-2 & t & 2t\end{vmatrix}| = \frac16|((-2)(-4t) - 2\left[(-2)2t - 4(t-2)\right]| = \frac16|8t - 2\left[-8t + 8\right]| = \frac16|24t - 16| = \frac16\cdot8|3t - 2| = \frac43|3t - 2|.$$
Sanity check:
Fra uttrykket for $V(t)$ forventer vi at $V(\frac23) = 0$, altså at $\vec{r}(\frac23) = \left[\frac23,\frac23,\frac43\right]$ ligger i planet $\alpha$. Nå, $$2(\frac23 - 2) + 2\frac23 + \frac43 = \frac43 - 4 + \frac43 + \frac43 = 4 - 3\cdot\frac43 = 4 - 4 = 0,$$ så $V(\frac23)$ ligger i planet $\alpha$, som forventet.

DennisChristensen skrev:

MrLorgy skrev:Heisan!

Gitt pyramide ABCP, der A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,4)
Toppunkt P ligger på linja [tex]\vec{r}(t)=[t,t,2t][/tex]

Oppgaven er å finne et uttrykk for Volum gitt ved t, V(t).

Her sliter jeg når jeg kommer til absoluttverdi og hvordan normalen for grunnplanet funker sammen med vektoren AP

Jeg har funnet [tex]\vec{n_{\alpha }}=[8,8,4][/tex] og bruker [tex]\vec{AP}=[t-2,t,2t][/tex] for å representere en vektor til toppunktet.

Når jeg har prøvd og sette dette inn i formelen for volumet av en pyramide ved vektorer, så kommer jeg nærme men aldri helt fram til hva boka hevder er riktig svar.

Jeg får [tex]V_{t}=\frac{1}{6}\cdot |\vec{n_{\alpha }}\cdot \vec{AP}|=\frac{8}{3}|t|[/tex]

Men riktig svar er oppgitt som [tex]\frac{4}{3}|t|[/tex]

Er et par punkter jeg kan tenkte meg hvor dette har gått galt, som nevnt hva som skjer inne i absoluttverdien mellom vektorene som utspenner planet og vektoren for toppunktet, og så er jeg litt usikker på selve toppvektoren.

Kunne noen gått igjennom hva som skjer her, slik at jeg kan finne ut hva som har gått galt?

Takk for hjelpen!

Vi har at $\vec{AB} = \left[-2,2,0\right], \vec{AC} = \left[-2,0,4\right]$ og $\vec{AP} = \left[t-2,t,2t\right]$.

Det er feil i fasiten din. Dersom $V(t) = \frac43|t|$ hadde vært korrekt, hadde vi hatt at $V(0) = 0$, altså at $\vec{r}(0)$ ligger i planet $\alpha$ som går gjennom $A, B$ og $C$. Vi kan enkelt sjekke at dette ikke er tilfellet: Vi har at $$\vec{AB}\wedge\vec{AC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4\end{vmatrix} = \left[8, 8, 4\right],$$ så vi kan bruke $\vec{n}_{\alpha} = \left[2,2,1\right]$ som normalvektor for planet $\alpha$. Dermed får vi en likning for planet $\alpha$: $$\alpha: 2(x-2) + 2y + z = 0,$$ og vi ser at $(0,0,0)$ ikke ligger i planet. Altså får vi ikke en "flat" pyramide (med volum $0$) når $t=0$, så $V(t) = \frac43|t|$ kan ikke være riktig uttrykk for $V$.

Bruker vi formelen for volum av tetraeder får vi at volumet $V$ er gitt ved $$V(t) = \frac16|\begin{vmatrix} -2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \\ t-2 & t & 2t\end{vmatrix}| = \frac16|((-2)(-4t) - 2\left[(-2)2t - 4(t-2)\right]| = \frac16|8t - 2\left[-8t + 8\right]| = \frac16|24t - 16| = \frac16\cdot8|3t - 2| = \frac43|3t - 2|.$$
Sanity check:
Fra uttrykket for $V(t)$ forventer vi at $V(\frac23) = 0$, altså at $\vec{r}(\frac23) = \left[\frac23,\frac23,\frac43\right]$ ligger i planet $\alpha$. Nå, $$2(\frac23 - 2) + 2\frac23 + \frac43 = \frac43 - 4 + \frac43 + \frac43 = 4 - 3\cdot\frac43 = 4 - 4 = 0,$$ så $V(\frac23)$ ligger i planet $\alpha$, som forventet.

Takk skal du ha Dennis!

Dette gir mye mer mening i forhold til den andre informasjonen jeg har funnet. En av problemene jeg hadde var jo å få |t| alene, så ble brukt noen ufullstendige snarveier der.

Kan ikke si at jeg er overasket. Kvaliteten på hele kapitlet har vært ganske labert, med flere feil i både eksempler og oppgaver, for ikke å snakke om skrivefeilene. Men bedre å få det sjekket sånn at jeg ikke lærer noe feil.

Takk for hjelpen!