matematikk.net

Hei!
Hadde terminprøve i R2 i dag, legger den ut her, om noen er interessert i litt ekstra øvestoff til sin terminprøve
Veldig kult om noen vil lage et løsningsforslag også!

mange oppgaver som er identisk med vår

som f.eks.

oppgave 3,4,5 del 1 og 1,3,4 del 2 =)

LØSNINGSFORSLAG



1

a

[tex]f(x)=2\cos (2x)[/tex]

[tex]f'(x)=2*2*-\sin(2x)=-4 \sin (2x)[/tex]

b

[tex]g(x)=e^{-x^2}[/tex]

[tex]g'(x)=(-x^2)'*e^{-x^2}=-2xe^{-x^2}[/tex]

2

a

[tex]\int (x^2-2x+4)dx=\frac{1}{3}x^3-x^2+4x+C[/tex]

[tex]\int_{0}^{2}(x^3-2x+4)dx=\left [ \frac{1}{3}x^3-x^2+4x \right ]_{0}^{2}=8[/tex]

b

[tex]\int x*\sin 2x \, dx[/tex]
[tex]v=x \Longrightarrow \, v'=1[/tex]
[tex]u'=\sin(2x) \Longrightarrow \, u=-\frac{1}{2}\cos(2x)[/tex]

[tex]\int u'*v=u*v-\int u*v' dx[/tex]

[tex]\int x*\sin 2x \, dx=x*-\frac{1}{2}\cos(2x)-\int (-\frac{1}{2}\cos(2x)*1)dx[/tex]
= [tex]- \frac{x}{2} \cos(2x)+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}\sin(2x)+C[/tex]

=[tex]-\frac{1}{2}(x \cos(2x) -\frac{1}{2}\ sin (2x)[/tex]+C


3

a

[tex]\vec{AB}=[2,-4,3][/tex]

[tex]\vec{AC}=[0,2,-2][/tex]

[tex]\vec{n}=\vec{AB} \times \vec{AC}=[2,4,4]=2[1,2,2][/tex]

Dermed: [tex]x+2y+2z+d=0[/tex] Sett inn f.eks.[tex]A(1,1,1)[/tex]
[tex]1+2*1+2*1+d=0[/tex]
[tex]d=-5[/tex]

Q.E.D.

b

[tex]A=\frac{1}{2}\left |(\vec{AB} \times \vec{AC} \right |[/tex]=[tex]\frac{1}{2}*6=3[/tex]

c

[tex]\vec{AD}=[2t-1,t-1,2t-1][/tex]

[tex]V=\frac{1}{6}* \left | \vec{n}*\vec{AD} \right |=\frac{1}{6} \left |16t-10 \right |[/tex]


[tex]D[/tex] innsatt i [tex]\alpha[/tex] gir :


[tex]2t+2t+2(2t)-5=0 \Longleftrightarrow t= \frac{5}{8}[/tex] ^^ i volum



4

a

[tex]f(x)=3\cos (2x)=0\Longleftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi}{2}+2\pi k \Longleftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi k[/tex]

[tex]x \in \left \langle 0, 2 \pi \right \rangle[/tex] gir:

[tex]x=\frac{\pi}{4}, x=\frac{3\pi}{4},x=\frac{5 \pi}{4},x=\frac{7\pi}{4}[/tex]

[tex]f'(x)=\left ( 3 \cos (2x) \right )'=3*2*-\sin (2x)=-6 \sin (2x)[/tex]

[tex]f'(x)=0 \Longleftrightarrow 2x=0+2\pi k \Longleftrightarrow x=\pi k \vee x=\frac{\pi}{2}+\pi k[/tex]

[tex]x \in \left \langle 0, 2 \pi \right \rangle[/tex] gir:

[tex]x=\frac{\pi}{2},x=\pi, x=\frac{3\pi}{2}[/tex]

Finn maksimalverdien ved: [tex]\cos (x) \in [-1,1][/tex] og såleis --> fortegnslinje..


c)

Bruk ekstremalpunkt, likevektslinje y=0, amplitude=3 , periode = [tex]\pi[/tex] og faseforskyvningen



5

a

[tex]k=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{9x^2}{3x}=\frac{3x}{1}=3x[/tex]

[tex]\left | k \right |<1\Longleftrightarrow k^2<1\Longleftrightarrow 9x^2<1\Longleftrightarrow (3x-1)(3x+1)<0[/tex]

[tex](3x-1)<0\Rightarrow \left \{ x<\frac{1}{3} \right \}[/tex]

[tex](3x+1)<0\Rightarrow \left \{ -\frac{1}{3}>x \right \}[/tex]

Dvs. konvergeringsområdet: [tex]x\in \left \langle -\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right \rangle[/tex]

Ettersom den konvergerer er summen gitt ved:

[tex]s(x)=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-3x}[/tex]

[tex]s(x)=\frac{3}{2}=\frac{1}{1-3x}\Longleftrightarrow 1-3x=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}[/tex]

Som for øvrig er i konvergeringsområdet, ergo summen finnes,

c

Trinn 1 : viser at det stemmer for [tex]n=1[/tex]

[tex]VS=1[/tex], [tex]HS=\frac{3^1-1}{2}=\frac{2}{2}=1[/tex] check

Trinn 2: antar at det stemmer for n=t

[tex]1+3+9+...+3^{t-1}=\frac{3^t-1}{2}[/tex]

Skal vise at det da stemmer for [tex]n=t+1[/tex]

HS:

[tex]1+3+9+...+3^{t-1}+3^{(t+1)-1}=\frac{3^{t+1}-1}{2}[/tex]

BEVIS:

VS:

[tex]{\color{Red} {1+3+9+...+3^{t-1}+}}3^{(t+1)-1}=[/tex]

[tex]{\color{Red} {\frac{3^{t}-1}{2}}}+3^{(t+1)-1}={\color{Red} {\frac{3^{t}-1}{2}}}+\frac{3^t*2}{2}=\frac{3^{t}-1+{\color{Blue} {2}}*3^{t}}{2}=\frac{3^t-1+({\color{Blue} {3-1})*3^t}}{2}=\frac{3^t-1+3^{t+1}-3^t}{2}=\frac{3^{t+1}-1}{2}[/tex]

CHECK


6

a

[tex]y'+xy=x[/tex]

[tex]y'=x-xy\Rightarrow y'=x(1-y)\Leftrightarrow \frac{1}{1-y}y'=x[/tex]

[tex]\int \left ( \frac{1}{1-y} \right )dy=\int xdx[/tex]

[tex]\ln\left |1-y \right |=\frac{1}{2}x^2+C\Rightarrow \left | 1-y \right |=e^{\frac{1}{2}x^2+C}[/tex]

[tex]1-y=\pm e^{C}*e^{\frac{1}{2}x^2}\Rightarrow y=1-C_1e^{\frac{1}{2}x^2}[/tex]

[tex]y(0)=0\Rightarrow y=1-C_1=0\Leftrightarrow C_1=1[/tex]

[tex]\boxed {y=1-e^{\frac{1}{2}x^2}}[/tex]


b

[tex]y'=\sqrt{y}x\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{y}}y'=x\Leftrightarrow \int y^{-\frac{1}{2}}dy=\int xdx[/tex]

[tex]2y^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^2+C\Leftrightarrow \boxed y={\left (\frac{x^2}{4}+C \right )^2}[/tex]

c

[tex]y''-y=0[/tex]

karakteristisk likning

[tex]r^2-1=0\Leftrightarrow r=\pm 1[/tex]

[tex]y=Ce^{x}+De^{-x}[/tex]

[tex]y(0)=1\Longleftrightarrow C+D=1[/tex]

[tex]y'=Ce^x-De^{-x}[/tex]

[tex]y'(0)=0\Leftrightarrow C-D=0\Leftrightarrow C=D[/tex]

Fikser dette seinere ^^



7

[tex]x^2-4x+y^2-2y+z^2-4z=0[/tex]

[tex]x^2-4x+\left ( \frac{-4}{2} \right )^2+y^2-2y+\left ( \frac{-2}{2} \right )^2+z^2-4z+\left ( \frac{-4}{2} \right )^2=1+2^2+2^2[/tex]

[tex](x-2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=3^2[/tex]

[tex]S(2,1,2)[/tex] og [tex]r=3[/tex]


8

a

[tex]A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}g(x)dx+\left | \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}}g(x)dx \right |=1+\left | -\frac{1}{2} \right |=\frac{3}{2}[/tex]

b

[tex]\cos (x+x)=\cos x * \cos x - \sin x * \sin *x[/tex]

[tex]\cos(x+x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x\Leftrightarrow cos^2x=\cos(x+x)+\sin^2x[/tex]

Bruker [tex]\cos^2 x+\sin^2 x=1[/tex]

[tex]cos^2 x= \cos(x+x)+(1-cos^2 x)[/tex]

[tex]2 \cos^2 x= \cos(2x)+1\Rightarrow \cos^2 x=\frac{\cos(2x)}{2}+\frac{1}{2}[/tex]

Dette blir sjølvsagt brukt i beregning av omdreiningslegemet..

[tex]V= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}g^2dx=\frac{\pi^2}{4}[/tex]


DEL 2

1

a

[tex]vekstfart=økning-reduksjon=0.018-0.023=-0.005[/tex]

Proporsjonalt med innbyggertallet [tex]k*y[/tex] og netto = 20

dvs [tex]y=-0.005y+20[/tex], ved tidspunkt t=0, er det y=2000 innbyggere

(Hadde vært kjekkere hvis vi ble bedt om å finne en differensiallikning som beskriver situasjonen selv)

Orker, ikke, men integrerende faktor [tex]e^{-0.005x}[/tex]

[tex]y=4000-2000e^{-0.005x}[/tex] [tex]y(0)=0[/tex]

[tex]y(5)=2049[/tex]

JA, [tex]\lim x \to \infty y=4000[/tex] etter hvert.


2

orker ikke ....


3


likning 1:

[tex]20a_1+190d=1010[/tex]

[tex]a_1+4d=23[/tex]

[tex]d=5,a_1=3[/tex]


4

a

[tex]\vec{AB}=\left [ 2,-3,0 \right ][/tex]

[tex]\vec{AC}=\left [ 1,1,13 \right ][/tex]

[tex]\vec{AB} \times \vec{AC}=\left [ -9,-6,5 \right ][/tex]

[tex]-9x-6y+5z+d=0[/tex]

Sett inn [tex]B(4,1,0)[/tex]

[tex]-9*4-6*1+5*0+d=0\Leftrightarrow d=42[/tex]

b

Sett inn [tex]P(3,3,\frac{3}{5})[/tex]

[tex]-9*3-6*3+5*\frac{3}{5}=-42[/tex], ja ligger i planet

c

radius er avstanden:

[tex]D=\frac{\left [ 2*3+3-5*\frac{3}{5}-2 \right ]}{\sqrt{2^2+1^2+(-5)^2}}=\frac{2\sqrt{30}}{15}[/tex]


Dvs:

[tex](x-3)^2+(y-3)^2+(z-\frac{3}{5})^2=\left ( \frac{2 \sqrt{30}}{15} \right )^2[/tex]


d

(Lag tegning)

[tex]D=\frac{\left [ \frac{3}{5}*1 \right ]}{\sqrt{1^2}}=\frac{3}{5}[/tex]


[tex]D^2+r^2=\left ( \frac{2\sqrt{30}}{15} \right )^2[/tex]

gir [tex]r=\pm \sqrt{\frac{13}{75}}[/tex]


med forbehold om noen feil ! (brukte ca. 2 timer på alt)

[quote="Drezky"][/quote]
Herlig, tusen takk!

Det var flere av oppgavene som var prikk like de vi fikk på vår heldagsprøve også. 1,3 og 8 del1, og 2,3 og 4 på del 2. Lærerne henter nok oppgaver fra samme sted.

Noen andre som har kunne tatt en titt på den terminprøven som er lagt ut og utfylt litt mer på det Drezky har gjort?