Skal finne topp og bunnpunkt av denne funksjonen
f(x)=(lnx)[sup]x[/sup] - 3lnx
Jeg deriverte denne funksjonen og kom fram til
f'(x)=3(lnx)[sup]2[/sup]-3/x
Men når jeg løser telleren lik null så får jeg ikke riktig topp og bunnpunkt, jeg har altså derivert feil. Noen som kan hjelpe meg med denne?[/sub]
logaritmefunksjonen
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Signaturen Andrina har derivert (lnx)[sup]x[/sup] galt. Dette er ikke en funksjon på formen a[sup]x[/sup] der a er en positiv konstant. Trikset er er omformingen
(lnx)[sup]x[/sup] = e^(ln((lnx)[sup]x[/sup]) = e^(x ln(lnx)).
La u=x ln(lnx). Dette gir
u' = (x)' ln(lnx) + x [ln(lnx)]'.
Ved å sette v=lnx får vi vha. av kjerneregelen at
[ln(lnx)]' = v' (lnv)' = (1/x) (1/v) = 1/(x lnx).
Ergo blir
u' = ln(lnx) + (x/(x lnx)) = ln(lnx) + (1/lnx).
Dermed følger det av kjerneregelen at
[(lnx)[sup]x[/sup]]' = u' (e[sup]u[/sup])' = u' e[sup]u[/sup] = [ln(lnx) + (1/lnx)] (lnx)[sup]x[/sup].
(lnx)[sup]x[/sup] = e^(ln((lnx)[sup]x[/sup]) = e^(x ln(lnx)).
La u=x ln(lnx). Dette gir
u' = (x)' ln(lnx) + x [ln(lnx)]'.
Ved å sette v=lnx får vi vha. av kjerneregelen at
[ln(lnx)]' = v' (lnv)' = (1/x) (1/v) = 1/(x lnx).
Ergo blir
u' = ln(lnx) + (x/(x lnx)) = ln(lnx) + (1/lnx).
Dermed følger det av kjerneregelen at
[(lnx)[sup]x[/sup]]' = u' (e[sup]u[/sup])' = u' e[sup]u[/sup] = [ln(lnx) + (1/lnx)] (lnx)[sup]x[/sup].