Pi - bevis
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
Joa, men da må du bevise at omkrets/radius er konstant (at den ikke forandrer seg med sirkelens størrelse).
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Beviset for at forholdet mellom en sirkels omkrets og diameter er konstant, er langtfra trivielt. Det bygger på følgende to geometriske setninger:
(1) I to sirkler med diametre d[sub]1[/sub] og d[sub]2[/sub] og areal A[sub]1[/sub] og A[sub]2[/sub], er
A[sub]1[/sub][sup]2[/sup]/d[sub]1[/sub] = A[sub]2[/sub][sup]2[/sup]/d[sub]2[/sub].
(2) I en sirkel med radius r, omkrets O og areal A, er
A/r[sup]2[/sup] = O/d
der d=2r er sirkelens diameter. Ved å kombinere disse to setningene, får vi at forholdet O/d er konstant. Denne konstanten kalles [pi][/pi].
For de som er interessert, er bevis for setningene (1) og (2) å finne på sidene 70-74 i boka "Fra matematikkens spennende verden" (ISBN: 82-519-1141-9).
(1) I to sirkler med diametre d[sub]1[/sub] og d[sub]2[/sub] og areal A[sub]1[/sub] og A[sub]2[/sub], er
A[sub]1[/sub][sup]2[/sup]/d[sub]1[/sub] = A[sub]2[/sub][sup]2[/sup]/d[sub]2[/sub].
(2) I en sirkel med radius r, omkrets O og areal A, er
A/r[sup]2[/sup] = O/d
der d=2r er sirkelens diameter. Ved å kombinere disse to setningene, får vi at forholdet O/d er konstant. Denne konstanten kalles [pi][/pi].
For de som er interessert, er bevis for setningene (1) og (2) å finne på sidene 70-74 i boka "Fra matematikkens spennende verden" (ISBN: 82-519-1141-9).
-
Gjest
Candela skreiv: "pi er omkrets/2*radius. Begge er konstanter, ergo pi er en konstant." Korkje omkrinsen eller radien er konstantar, som allereie påpeikt.
Bevisforslag for at O/d er konstant: La ein sirkel ha radius r og omkrins O. La N vera eit heiltal større enn 4 (talet 4 er uessensielt; me er uansett først og fremst interesserte i høge N) og del sirkelen inn i sektorar med vinklar på 360/N grader; alle sektorane er kongruente. Me ser på ein vilkårleg sektor. Arealet til denne er a, og ved å tilnærma med ein ytre og ein indre trekant, så får me r^2 * sin (360/N) < 2a < r^2 * tan (360/N). For arealet A til sirkelen gjeld då Nr^2 * sin (360/N) < 2A < r^2 * N * sin (360/N)/cos(360/N) og dermed er N * sin (360/N) < 2A/r^2 < N * sin (360/N)/cos(360/N). Når N går mot uendeleg, så går cos(360/N) mot 1 og dermed går venstre- og høgresida mot det same talet, dvs. at 2A/r^2 er konstant. Ved å koma med ein tilsvarande tilnærmingsprosedyre får me også O*r/2 = A, dvs. at A/r^2 = O/2r = O/d er konstant. Denne konstanten kallar me [pi][/pi]. (Detaljar, den andre tilnærmingsprosedyren og meir rigorøs handtering av enkelte delar er ikkje med her.)
Bevisforslag for at O/d er konstant: La ein sirkel ha radius r og omkrins O. La N vera eit heiltal større enn 4 (talet 4 er uessensielt; me er uansett først og fremst interesserte i høge N) og del sirkelen inn i sektorar med vinklar på 360/N grader; alle sektorane er kongruente. Me ser på ein vilkårleg sektor. Arealet til denne er a, og ved å tilnærma med ein ytre og ein indre trekant, så får me r^2 * sin (360/N) < 2a < r^2 * tan (360/N). For arealet A til sirkelen gjeld då Nr^2 * sin (360/N) < 2A < r^2 * N * sin (360/N)/cos(360/N) og dermed er N * sin (360/N) < 2A/r^2 < N * sin (360/N)/cos(360/N). Når N går mot uendeleg, så går cos(360/N) mot 1 og dermed går venstre- og høgresida mot det same talet, dvs. at 2A/r^2 er konstant. Ved å koma med ein tilsvarande tilnærmingsprosedyre får me også O*r/2 = A, dvs. at A/r^2 = O/2r = O/d er konstant. Denne konstanten kallar me [pi][/pi]. (Detaljar, den andre tilnærmingsprosedyren og meir rigorøs handtering av enkelte delar er ikkje med her.)
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Signaturen Gjest sitt forslag til bevis er et sirkelbevis, (som ifølge nettstedet www.Caplex.no er et bevis som ikke beviser noe som helst, ettersom det som skal bevises, allerede er forutsatt i premissene). I dette tilfellet er sinusfunksjonen brukt. Denne baserer seg på definisjonen av absolutt vinkelmål: I en sirkel der to radier av lengde r spenner over en sirkelbue av lengde s, er sentralvinkelens måltall definert som s/r. Så i to halvsirkler med radier r[sub]1[/sub] og r[sub]2[/sub] og omkretser O[sub]1[/sub] og O[sub]2[/sub], har sentralvinklene det absolutte vinkelmålet O[sub]1[/sub]/(2r[sub]1[/sub]) og O[sub]2[/sub]/(2r[sub]2[/sub]) respektive. For at definisjonen av absolutt vinkelmål (og dermed også sinus) skal være konsistent, må
O[sub]1[/sub]/d[sub]1[/sub] = O[sub]2[/sub]/d[sub]2[/sub]
der d[sub]1[/sub]=2r[sub]1[/sub] og d[sub]2[/sub]=2r[sub]2[/sub].
O[sub]1[/sub]/d[sub]1[/sub] = O[sub]2[/sub]/d[sub]2[/sub]
der d[sub]1[/sub]=2r[sub]1[/sub] og d[sub]2[/sub]=2r[sub]2[/sub].
-
Gjest
Poenget er at man ikke kan definere de trigonometriske funksjonene uten først å ha definert hva måltallet til en vinkel er. Dette er jo åpenbart ettersom argumentet til en trigonometrisk funksjon nettopp er måltallet til en vinkel.