matematikk.net

Hei!

Jeg har tenkt å se litt på R2 og Fysikk 2 i sommer, som forberedelse til vg3. Jeg har dog ikke hele sommeren tilgjengelig og lurte i den sammenheng på om hvilke emner av disse to fagene jeg bør fokusere på.

Jeg har allerede sett litt på integrasjon, og kan integrere polynomer samt eksponentialfunksjoner.

Spørsmålet er altså; hvilke tema innenfor disse to fagene bør jeg se på i sommer; hvilke blir de viktigste?

Takk for hjelpen på forhånd!

Jeg fikk toppkarakter i fysikk2 fra vgs i fjor (ikke for å skryte.... ) Det som er vanskeligst er relativitetsteorien (faktisk, så er det ingen som skjønner den helt) og induksjon. Jeg ville startet basic med de tre bevarinsglovene og bevelseslikninger, da de bygger mest på fysikk1 som jeg antar du har godt i minne. Deretter ville jeg sett på gravitasjon-, elektriske- og magnetiske felt.

Jeg syntes fysikk2 var det gøyeste faget på vgs.

Det aller viktigste; oppgaver, oppgaver og mer oppgaver.

I og med at du kan å integrere polynomer og eksponential-funksjoner, kan du vel gå steget videre og lære deg u,v,w-substitusjoner som kommer i kapittel 6 hvis jeg ikke tar feil. Diff-likninger er også verdt å se på!

Eks fra eksamen for et par år tilbake:
[tex]\int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}[/tex]

Kay skrev:I og med at du kan å integrere polynomer og eksponential-funksjoner, kan du vel gå steget videre og lære deg u,v,w-substitusjoner som kommer i kapittel 6 hvis jeg ikke tar feil. Diff-likninger er også verdt å se på!
Eks fra eksamen for et par år tilbake:
[tex]\int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}[/tex]

[tex]I=\int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}\,dx[/tex]


(hint: [tex]u= e^x+1)[/tex]

Uten å ha sett på det du nevner Kay, så kan man vel se hva [tex]\int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}[/tex] blir?

Derivasjonsregelen for brøk sier jo at [tex](\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

I og med at nevneren i brøken som skal integreres er [tex](e^x+1)^2[/tex], kan vi anta at [tex]v[/tex] er [tex]e^x+1[/tex]. Deretter må vi finne en [tex]u[/tex] som gjør at [tex]u'*(e^x+1) - u*(e^x) = e^x[/tex]. Ser at hvis [tex]u = -1[/tex], så vil dette stemme.

Da har vi at [tex]\int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}= - \frac{1}{e^x+1} + C[/tex]. Er dette rett?

Hvordan fungerer subtitusjon; hva er det egentlig? Skal selvfølgelig lese meg opp, men hvis noen har en god forklaring settes det god pris på!

mattemarkus skrev:Uten å ha sett på det du nevner Kay, så kan man vel se hva [tex]\int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}[/tex] blir?

Derivasjonsregelen for brøk sier jo at [tex](\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

I og med at nevneren i brøken som skal integreres er [tex](e^x+1)^2[/tex], kan vi anta at [tex]v[/tex] er [tex]e^x+1[/tex]. Deretter må vi finne en [tex]u[/tex] som gjør at [tex]u'*(e^x+1) - u*(e^x) = e^x[/tex]. Ser at hvis [tex]u = -1[/tex], så vil dette stemme.

Da har vi at [tex]\int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}= - \frac{1}{e^x+1} + C[/tex]. Er dette rett?

Hvordan fungerer subtitusjon; hva er det egentlig? Skal selvfølgelig lese meg opp, men hvis noen har en god forklaring settes det god pris på!

Svaret er jo forsåvidt riktig, men vi har generelt at hvis

teller er en derivert av nevner (er vel egentlig ikke helt rett å beskrive det slik, men altså satser på at noen kan fylle ut hva som menes), i vårt tilfelle [tex]e^x=(e^x+1)\prime[/tex] så kan vi substituere telleren slik at [tex]\int\frac{e^x}{(e^x+1)^2}=\int \frac{du}{u^2}[/tex] hvor [tex]u=e^x+1[/tex].
[tex]\int \frac{du}{u^2}=\int u^{-2}du=\frac{u^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{e^x+1}+C[/tex]

Som oppfølger så kan du prøve på denne [tex]I=\int\frac{sin(x)}{cos^2(x)}[/tex], gitt at du er kjent med trigonometrisk derivasjon selvfølgelig, ellers kan du godt gjøre deg kjent med det eller eventuelt bare hoppe over den for nå...

Er ikke kjent med trigonometrisk derivasjon nei, men med et kjapt søk vet jeg at [tex](sin(x))' = cos(x)[/tex] og at [tex](cos(x))' = -sin(x)[/tex].

Med teknikken du beskriver kan man se at [tex](cos(x))' = - sin(x)[/tex], og vi kan substituere slik at [tex]\int \frac{sin(x)}{cos^2(x)} = \int \frac{-du}{u^2}[/tex], der [tex]u = cos(x)[/tex]. Vil vel helst ikke ha [tex]-du[/tex], så ganger derfor med -1 i både teller og nevner.

Da har vi videre at;
[tex]\int \frac{du}{(-u)^2} = \int u^{-2} du[/tex].
[tex]= \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = - \frac{1}{u}[/tex]

Setter deretter inn for [tex]u[/tex].

[tex]\int \frac{sin(x)}{cos^2(x)} = \frac{1}{cos(x)}[/tex]

Er ikke kjent med trigonometrisk derivasjon, så det kan godt ha sneket seg inn en feil. I symbolab får jeg svaret [tex]sec(x)[/tex], når jeg prøvde å kontrollere svaret, hva betyr dette? Kom gjerne med flere utfordringer Kay!

mattemarkus skrev:Er ikke kjent med trigonometrisk derivasjon nei, men med et kjapt søk vet jeg at [tex](sin(x))' = cos(x)[/tex] og at [tex](cos(x))' = -sin(x)[/tex].

Med teknikken du beskriver kan man se at [tex](cos(x))' = - sin(x)[/tex], og vi kan substituere slik at [tex]\int \frac{sin(x)}{cos^2(x)} = \int \frac{-du}{u^2}[/tex], der [tex]u = cos(x)[/tex]. Vil vel helst ikke ha [tex]-du[/tex], så ganger derfor med -1 i både teller og nevner.

Da har vi videre at;
[tex]\int \frac{du}{(-u)^2} = \int u^{-2} du[/tex].
[tex]= \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = - \frac{1}{u}[/tex]

Setter deretter inn for [tex]u[/tex].

[tex]\int \frac{sin(x)}{cos^2(x)} = \frac{1}{cos(x)}[/tex]

Er ikke kjent med trigonometrisk derivasjon, så det kan godt ha sneket seg inn en feil. I symbolab får jeg svaret [tex]sec(x)[/tex], når jeg prøvde å kontrollere svaret, hva betyr dette? Kom gjerne med flere utfordringer Kay!

[tex]Sec(x)[/tex] er bare en annen trigonometrisk identitet som defineres som [tex]\frac{1}{cos(x)}[/tex], så svaret ditt er riktig.

Når jeg ser tilbake på svaret mitt ser jeg at jeg har [tex]- \frac{1}{u}[/tex], før jeg setter inn for u, og da får jeg jo svaret [tex]- \frac{1}{cos(x)} + C[/tex], som er feil svar.

Hvor har jeg gjort feil?

Nevermind, tror jeg fant den.

Er vel en feil der jeg har ganget over og under i brøken.

[tex]\int \frac{-du * -1}{u^2 * -1} = \int \frac{du}{u^2 * -1} = \int \frac{1}{-1} * \frac{du}{u^2}[/tex]

Siden vi kan flytte skalarer utenfor integralet har vi at [tex]\int \frac{-du}{u^2}= -1 * \int \frac{du}{u^2}[/tex]. Deretter løser jeg den bare som forrige gang og multipliserer ut til slutt og får dermed positivt fortegn istedenfor negativt.