Derivasjon

[Gjest]

Gitt funksjonen f(x) = (x^3/3) - 2x^2 + 5x

a) Vis at f(x) vokser for alle verdier av x.
b) For hvilken verdi av x er vekstfarten f`(x) minst?
Hvor stor er den minste vekstfarten?
c) Finn ligningen for eventuelle vendetangenter

[Heisenberg]

a) f'(x)=x^2-4x+5

Siden f'(x) ikke har noen nullpunkter (f'(x)=0 har ingen l�sninger), er kontinuerlig og st�rre enn null for f.eks x=0, vil f'(x) v�re st�rre enn null for alle x.

b)

For � finne minste f'(x), finner du den andre deriverte og setter denne lik null.

f''(x)=2x-4
f''(x)=0 gir x= 2.

Vekstfarten er da f'(2)=1

c) Vendetangenten i x=2 er linja med stigningstall lik f'(2), som g�r gjennom f(2).
f(2)=14/3

y-y_0=a(x-x_0)
y-14/3=x-2
y=x+8/3 (likning for vendetangent)

[Solar Plexsus]

a) Nå er

(1) f'(x) = x[sup]2[/sup] - 4x + 5 = (x - 2)[sup]2[/sup] + 1.

Vi ser at f'(x)>0 for alle reelle tall x. M.a.o. er f strengt voksende overalt.


b) Av (1) følger at f'(x) er minst for x=2. Da er vekstfarten f'(2)=1.


c) Derivasjon av f'(x) gir

f''(x) = 2x - 4 = 2(x - 2).

Så f''(x)=0 når x=2, hvilket betyr at f har kun en vendetangent. Denne er gitt ved likningen

y - f(2) = f'(2)(x - 2)

y - 14/3 = 1*(x - 2)

y = x - 2 + 14/3

y = x + 8/3.