Nytt integralproblem.

[Andreas VK II]

[itgl][/itgl]x*2[sup]x[/sup] dx

Det skal løses ved delvis integrasjon. Har klødd meg i hodet en stund nå, kommer halveis ut i oppgaven, men der stopper det.

[Andrina]

Vi tar u'=2^x, v=x

Integralet blir da ved delvis integrasjon:
(1/ln(2))*(2^x)*x-int((1/ln(2))*2^x)

=(1/ln(2)*(2^x)*x-(1/(ln2)^2)*2^x+C

=(1/ln(2))*((2^x)*x-(1/ln(2))*2^x)+C

Du kan sjekke dette ved å derivere dette og se at den deriverte blir x*2^x

[Andreas VK II]

I fasiten står det (xln2-1)\((ln2)^2)*2[sup]x[/sup]

Jeg får utifra at det er det samme?

Hva skjer når du integrerer og det blir 1\(Ln2)^2? Jeg fant ikke noen regel for å integrere med brøktegn annet enn 1\x = ln|x|.

Men eksponenten forsvinner igjen på nederste linje, hvorfor det?

[Andrina]

Ja, det er det samme, du må bare multiplisere ut parentesene.

Problemet er vel her å integrere 2^x??
En derivasjonsregel sier at (2^x)'=ln(2)*2^x. Så når du skal integrere 2^x, må du dele med ln(2).
[((1/ln(2))*2^x)'=ln(2)*(1/ln(2))*2^x=2^x]

Eksponenten forsvinner på nederste linje, siden jeg skrev 1/ln(2) utenfor parentesen (men dette er ikke så viktig, det trenger du ikke å gjøre).

[Andreas VK II]

At [itgl][/itgl]2[sup]x[/sup] = 1\ln2*2[sup]x[/sup] hadde jeg klart, men når du integrerer det igjen får du [itgl][/itgl]((1\ln2)*2[sup]x[/sup]) =

(1/(ln2)^2)*2^x


Hvilken regel bruker du her?

[Goethe]

Ett triks som ofte kan være nyttig når du har eksponential-funksjoner med andre grunntall enn den naturlige er simpelthen å skifte grunntall.

Da blir 2=e[sup]ln2[/sup], og 2[sup]x[/sup]=e[sup]xln2[/sup]

Denne omskrivingen kan da enkelt deriveres eller eventuelt integreres med substitusjonen u=xln2

[Andrina]

Når du integrerer 1/ln(2)*2^x igjen, bruker du samme regel og at int(c*2^x)=c*int(2^x) for hver konstant c.
Her er spesielt c=ln(2). Dermed får du ln(2)^2 i nevneren.