matematikk.net

Vi har gitt en tallfølge hvor [tex]a_{1}=-1[/tex] og [tex]a_{n+1}=a_{n}+n-1[/tex]

a) Skriv de fem første leddene i tallfølgen

Dette har jeg gjort: [tex]a_{1}= -1 , a_{2}=n-2, a_{3}=2n-3 osv[/tex]

b) Bruk induksjonsbevis til å vise at det generelle leddet i følgen er [tex]a_{n} = \frac{n(n-3))}{2}[/tex] for alle n[tex]\geq[/tex]1

Er dette riktig?

BEVIS:
1) Viser at * gjelder for n=1
V.S = -1
H. S = [tex]\frac{1(1-3)}{2} = -1[/tex]
ok.

2) Antar at * gjelder for n=k, DVs:
[tex]a_{k} = \frac{k(k-3))}{2}[/tex]
Ønsker så å vise at * da også må gjelde for n=k+1, dvs
[tex]a_{k+1}=\frac{(k+1)*((k+1)-3))}{2}[/tex]

[tex]a_{k+1}=a_{k}+n-1=\frac{k(k-1)}{2}+k-1 = \frac{k^2-k-2}{2} = \frac{(k+1)*(k-2))}{2}[/tex]

* er altså riktig for alle n[tex]\geq[/tex]1

Du har ikke gjort (a) riktig. De fem første leddene er:
$$a_1 = -1;$$ $$a_2 = a_1 + 1 - 1 = -1 + 1 - 1 = -1;$$ $$a_3 = a_2 + 2 - 1 = -1 + 2 -1 = 0;$$ $$a_4 = a_3 + 3 - 1 = 0 + 3 - 1 = 2;$$ $$a_5 = a_4 + 4 - 1 = 2 + 4 - 1 = 5.$$

Du har tenkt riktig i induksjonsbeviset, men du kan passe på å være enda mer konsekvent hva gjelder notasjonen din.
Løsningsforslag:

[+] Skjult tekst

Basistilfellet $n=1$: $$a_1 = -1 = \frac{1(1-3)}{2}. \checkmark$$

Induksjon: Anta at formelen gjelder for $n\in\mathbb{N}$. Da har vi at
$$a_{n+1} = a_n + n - 1 = \frac{n(n-3)}{2} + n - 1 = \frac{n^2 - 3n + 2n - 2}{2} = \frac{n^2 - n - 2}{2} = \frac{(n+1)(n-2)}{2} = \frac{(n+1)((n+1) - 3)}{2},$$
så formelen er bevist ved induksjon for alle $n\in\mathbb{N}. \checkmark$

Jeg skjønte ikke helt hva du mente med at det ikke var riktig?

Du skrev ikke de fem første tallene i følgen.

Åja, det var jo bare fordi jeg ikke gadd å skrive inn alt her. Trodde det var underforstått da jeg skrev (...)