Derivasjon

[Gjest]

Finn vendepunktene på grafen til f gitt ved:

f(x) = x^4 + 2x^3


En funksjon g er gitt ved g(x) = e^2x - 3x^x -4, D = R.

Finn g'(x) og g''(x)

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt
Finn eventuelle vendepunkt. Tegn grafen til g. Bruk 3 cm som enhet på førsteaksen og 1 cm som enhet på andreaksen (y-aksen)

[Solar Plexsus]

Skal det ikke være

g(x) = e[sup]2x[/sup] - 3e[sup]x[/sup] - 4?

[Gjest]

Det stemmer

[Solar Plexsus]

f(x) = x[sup]4[/sup] + 2x[sup]3[/sup]

f'(x) = 4x[sup]3[/sup] + 6x[sup]2[/sup]

f''(x) = 12x[sup]2[/sup] + 12x = 12x(x + 1).

Vi ser at f''(x)=0 når x=0 eller x=-1. Altså har f vendepunktene (0,f(0))=(0,0) og (-1,f(-1))=(-1,-1).



g(x) = e[sup]2x[/sup] - 3e[sup]x[/sup] - 4

g'(x) = 2e[sup]2x[/sup] - 3e[sup]x[/sup] = 2e[sup]x[/sup](e[sup]x[/sup] - 3/2)

g''(x) = 4e[sup]2x[/sup] - 3e[sup]x[/sup] = 4e[sup]x[/sup](e[sup]x[/sup] - 3/4)

Vi ser at g'(x)=0 når x=ln(3/2). Vha. av et fortegnsskjema for g'(x) kan en vise g har et ekstremalpunkt, og dette er bunnpunket (ln(3/2),g(ln(3/2)) = (ln(3/2),-6_1/4). (Tallet 6_1/4 er "seks og en fjerdedel")

Videre er g''(x)=0 når x=ln(3/4). M.a.o. er (ln(3/4),g(ln(3/4)) = (ln(3/4),-5_11/16) det eneste vendepunktet til g.