Integrasjon - kort stykke

[Gjest]

Får ikke helt til å integrere [itgl][/itgl] e^t[sup]2[/sup] * sint dt mellom 0 og 2[pi][/pi]. Ingen av faktorene kommer bort ved delvis integrasjon.

[Solar Plexsus]

Prøver du å beregner det ubestemte integralet

[itgl][/itgl]e[sup]t^2[/sup]sint dt

i Wolframs online Mathematica integrator (http://integrals.wolfram.com/index.jsp), får du et "stygt" svar som inneholder to uendelige rekker. Er du sikker på at eksponenten i eksponensialfunkjonen er korrekt? Det skal ikke være

[itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup] sint dt ?

[Magnus]

e^(x^2) er umulig å løse ved vanlig integrasjon..

[Gjest]

Det er nok [itgl][/itgl] e[sup]2t[/sup] sint dt jeg skal ha, mellom 0 og 2pi.

[Solar Plexsus]

Ved å bruke delvis integrasjon to ganger blir resultatet

[itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup] sint dt

= ([itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup]dt) sint - [itgl][/itgl]([itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup]dt) (sint)' dt

= (1/2)e[sup]2t[/sup] sint - [itgl][/itgl](1/2)e[sup]2t[/sup] cost dt

= (1/2)e[sup]2t[/sup] sint - (1/2)([itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup]dt) cost + (1/2)[itgl][/itgl]([itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup]dt) (cost)' dt

= (1/2)e[sup]2t[/sup] sint - (1/4)e[sup]2t[/sup] cost dt - (1/4)[itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup]dt sint dt.

Ved å flytte over integralet på nederste linje på andre siden av likhetstegnet, får vi at

(5/4)[itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup] sint dt = e[sup]2t[/sup](2sint - cost)/4 + C[sub]1[/sub]

[itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup] sint dt = e[sup]2t[/sup](2sint - cost)/5 + C[sub]2[/sub].

[Gjest]

Takk skal du ha!

Når jeg setter inn grenser får jeg litt feil svar.

I utgangspunktet var oppgaven å finne "the area of the surface generated by rotating the curve x = e[sup]t[/sup]*cost, y=e[sup]t[/sup]*sint about the x-axis, t fra 0 til 2[pi][/pi]."

Mitt svar ble da (2[rot][/rot](2)[pi][/pi]))/5 * ( -e[sup]4[pi][/pi][/sup] + 1 )
Fasiten vil ha (1 + 2e[sup][pi][/pi][/sup]), i parentesen altså.

[Solar Plexsus]

Nå er y=e[sup]t[/sup]sint, så y>=0 når 0<=t<[pi][/pi] og y<=0 når [pi][/pi]<t<=2[pi][/pi]. Dermed blir arealet A av overflaten til kurven generert ved å rotere kurven x=e[sup]t[/sup] cost og y=e[sup]t[/sup] sint rundt x-aksen gitt ved

A = (2[pi][/pi][rot][/rot]2 / 5)[ [itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup] sint dt ... t=0->[pi][/pi] - [itgl][/itgl]e[sup]2t[/sup] sint dt ... t=[pi][/pi]->2[pi][/pi] ]

= 2[pi][/pi][rot][/rot]2 (1 + e[sup]2[pi][/pi][/sup])[sup]2[/sup] / 5.

Jeg antar at fasitsvaret er galt. Bl.a. savner jeg konstanten [pi][/pi] i fasitsvaret.