Røtter av høyere orden

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Straamann
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 230
Registrert: 13/09-2017 19:02

Jeg skal finne:

tredjeroten av (0.64 * 10^8)

Hvordan går jeg frem da?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Røtter er eksponenter, som betyr at de er distributiv over et produkt.

Med andre ord $\sqrt[3]{0.64 \cdot 10^8} = \left(0.64 \cdot 10^8\right)^{\frac13} = 0.64^{\frac13} \cdot \left(10^8\right)^{\frac13}$

Ser du stegene videre?
Bilde
Straamann
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 230
Registrert: 13/09-2017 19:02

Aleks855 skrev:Røtter er eksponenter, som betyr at de er distributiv over et produkt.

Med andre ord $\sqrt[3]{0.64 \cdot 10^8} = \left(0.64 \cdot 10^8\right)^{\frac13} = 0.64^{\frac13} \cdot \left(10^8\right)^{\frac13}$

Ser du stegene videre?
hm nei, jeg følger hvordan læreboka er lagt opp, og potenser med brøk som eksponent er først neste delkapittel :mrgreen:

Er det en annen måte å løse dette på ved regning, uten å skrive det som opphøyd i en brøK?
reneask
Cayley
Cayley
Innlegg: 85
Registrert: 03/01-2018 18:00

For hånd er det nok ikke så mange andre måter å gjøre på.


En mulig måte å gjøre det på er $\sqrt[3]{0.64\cdot10^6} = \big(0.64\cdot10^6\big)^{1/3} = \big(64\cdot10^{-2}\cdot10^6\big)^{1/3} = 64^{1/3} \cdot (10^4)^{1/3} = 4 \cdot 10^{4/3}$
Straamann
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 230
Registrert: 13/09-2017 19:02

Den måten reneask gjorde det på, blir vel enda litt mer krøkkete.

(eksponenten er 8 forresten, ikke 6)

Hvorfor opphøye i en brøk, er det ikke egentlig enklere å forholde seg til n-te roten av noe?
reneask
Cayley
Cayley
Innlegg: 85
Registrert: 03/01-2018 18:00

Hvis du tar n-te roten av et tall er det akkurat det samme som å opphøye i [tex]1/n[/tex].

Tingen er at hvis du har potenser av tall, kan du bare multiplisere eksponenten med $1/n$, noe som gjør det mye enklere å regne seg frem til et fornuftig svar. Det er oftest det eller å gjette på en løsning som er alternativene du har.

Men siden eksponenten er 8 (og ikke 6 som jeg surret med) blir svaret enkelt å regne ut og du ender opp med et heltall:

[tex]\sqrt[3]{0.64\cdot10^8} = \big(0.64\cdot10^8\big)^{1/3} = \big(64\cdot10^6\big)^{1/3} = 4 \cdot 10^{6/3} = 4\cdot 10^2 = 400[/tex]
Sist redigert av reneask den 06/01-2018 22:36, redigert 1 gang totalt.
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Anbefaler at du ser videoene fra starten i denne spillelista: https://udl.no/p/1t-matematikk/kapittel ... logaritmer

Her forklares alt du trenger å vite om potenser og røtter på VGS-nivå. Du trenger ikke å gå så langt som logaritmer, men det er et naturlig steg videre når du kommer så langt.
Bilde
Straamann
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 230
Registrert: 13/09-2017 19:02

reneask skrev:Hvis du tar n-te roten av et tall er det akkurat det samme som å opphøye i [tex]1/n[/tex].

Tingen er at hvis du har potenser av tall, kan du bare multiplisere eksponenten med $1/n$, noe som gjør det mye enklere å regne seg frem til et fornuftig svar. Det er oftest det eller å gjette på en løsning som er alternativene du har.

Men siden eksponenten er 8 (og ikke 6 som jeg surret med) blir svaret enkelt å regne ut og du ender opp med et heltall:

[tex]\sqrt[3]{0.64\cdot10^8} = \big(0.64\cdot10^8\big)^{1/3} = \big(64\cdot10^6\big)^{1/3} = 4 \cdot 10^{6/3} = 4\cdot 10^2 = 400[/tex]
Ja, nå løsnet det omsider. så videoene også. :) det vil si, jeg forstår prosessen.
Straamann
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 230
Registrert: 13/09-2017 19:02

Hvordan bør man gå frem for å løse denne?

(1/8) ^ -1/3

:shock:
reneask
Cayley
Cayley
Innlegg: 85
Registrert: 03/01-2018 18:00

Straamann skrev:Hvordan bør man gå frem for å løse denne?

(1/8) ^ -1/3

:shock:
Vi bruker vanlig potensregler og forandrer uttrykket til noe enklere og deretter regner ut:

\begin{equation}
\bigg(\frac{1}{8}\bigg)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1^{-\frac{1}{3}}}{8^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^{3})^{\frac{1}{3}} = 2
\end{equation}
Straamann
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 230
Registrert: 13/09-2017 19:02

reneask skrev:
Straamann skrev:Hvordan bør man gå frem for å løse denne?

(1/8) ^ -1/3

:shock:
Vi bruker vanlig potensregler og forandrer uttrykket til noe enklere og deretter regner ut:

\begin{equation}
\bigg(\frac{1}{8}\bigg)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1^{-\frac{1}{3}}}{8^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^{3})^{\frac{1}{3}} = 2
\end{equation}
Hvordan fikk du den brudne brøken i nevneren til å bli 8 ^1/3?
reneask
Cayley
Cayley
Innlegg: 85
Registrert: 03/01-2018 18:00

Anta at $a$ og [tex]p[/tex] og er to reelle tall.

Da har vi at

[tex]a^{-p} = \frac{1}{a^p}[/tex]

Dette betyr at $\frac{1}{a^{-p}} = \frac{1}{\frac{1}{a^p}} = a^p$.

Som du ser kan du gå rett fra $\frac{1}{a^{-p}}$ til $a^p$, men jeg tenkte å ta med det ekstra steget for å forklare hva jeg gjorde.
Straamann
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 230
Registrert: 13/09-2017 19:02

reneask skrev:Anta at $a$ og [tex]p[/tex] og er to reelle tall.

Da har vi at

[tex]a^{-p} = \frac{1}{a^p}[/tex]

Dette betyr at $\frac{1}{a^{-p}} = \frac{1}{\frac{1}{a^p}} = a^p$.

Som du ser kan du gå rett fra $\frac{1}{a^{-p}}$ til $a^p$, men jeg tenkte å ta med det ekstra steget for å forklare hva jeg gjorde.
Ja, men det jeg ikke skjønner logikken bak er hvorfor du kan ta den a^p i nevneren i den brudne brøken og løse opp hele brøken slik at det bare gjenstår a^p. Hvilken regneregel er det?
reneask
Cayley
Cayley
Innlegg: 85
Registrert: 03/01-2018 18:00

Se for deg følgende:

Vi har $1L$ vann og lurer på hvor mange kopper med volum på $0.2L$ vi kan fylle opp.

Vi har da at antall kopper er $\frac{1}{0.2} = \frac{1}{\frac{2}{10}} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1\cdot\frac{5}{1}$ kopper.

Vi ser altså at å dele på en brøk er som å multiplisere med den motsatte brøken.
Straamann
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 230
Registrert: 13/09-2017 19:02

:) Godt forklart.
Svar