Polynomdivisjon, regne ut a,b, og c ved hjelp av nullpunkter

[andreamatte123]

Hei,
Jeg har nå prøvd å finne ut av hvordan jeg skal løse denne oppgaven i flere timer, og jeg skjønner fortsatt ikke hva jeg skal gjøre. Ganske sikker på at jeg skal klare oppgave b når jeg har fått til a, men det er altså denne jeg ikke skjønner...
Håper på at det er noen flinke der ute som kan hjelpe meg.

Polynomet P(x)=x^3+ax^2+bx+c, har nullpunktene −1,1 og 2.

a) Regn ut a, b og c.

b) Faktoriser polynomet P(x).

[reneask]

Siden polynomet $P(x) = x^3 + ax^2 +bx + c$ har nullpunkter ved $x_1 = -1\ , x_2 = 1, x_3 = 2$ vet vi at

$P(-1)=P(1)=P(2)=0$.

Vi kan dermed sette opp likningssystemet:

\begin{equation}
P(-1) = (-1)^3+a\cdot(-1)^2 + b\cdot(-1) + c = -1 + a - b + c = 0
\end{equation}

\begin{equation}
P(1) = 1^3 +a\cdot1^2 + b\cdot1 + c = 1 +a +b +c = 0
\end{equation}

\begin{equation}
P(2) = 2^3 +a\cdot2^2 + b\cdot2 + c = 8 + 4a + 2b + c = 0
\end{equation}

Likningssystemet gir løsningene $a = -2\ , b=-1\ ,c = 2$

[OYV]

Alternativ løsning:

Nullpunkt: x[tex]_1[/tex] = - 1, x[tex]_2[/tex] = 1 , x[tex]_3[/tex] = 2

Videre er koeffisienten i x[tex]^3[/tex]-leddet = 1 . Da kan vi skrive

P( x ) = ( x - x[tex]_1[/tex] ) * ( x - x[tex]_2[/tex] ) * ( x - x[tex]_3[/tex] ) = ( x -(-1) )(x - 1 ) (x - 2) =

= (x + 1 )( x - 1)(x - 2 ) = (x[tex]^2[/tex] - 1 )(x - 2 ) = x[tex]^3[/tex] - 2x[tex]^2[/tex] - x + 2

Svar: a = - 2 , b = - 1 og c = 2