Hei,
Sliter ekstremt med denne oppgaven. Har null peiling på hva jeg skal gjøre, har ingen idé.
Håper det er noen snille der ute som kan hjelpe meg litt.
Tabletter av et legemiddel inneholder 15 mg av et virksomt stoff som kroppen klarer å bryte ned
med 25 % per døgn.
En pasient tar en tablett daglig av dette legemidlet.
a) Hvor mye virksomt stoff har pasienten i kroppen like etter at den tiende tabletten er tatt?
Det virksomme stoffet kan være skadelig for pasienten hvis det blir mer enn 50 mg virksomt
stoff i kroppen.
b) Er det trygt for pasienten å fortsette med tablettene over en lang periode?
c) Det viser seg at pasienten ikke kan fortsette med disse tablettene over lang tid.
Regn ut hvor mange prosent av virkestoffet kroppen måtte bryte ned per døgn dersom en
tablett per døgn skulle være forsvarlig dosering
Måle virksomhet, og prosent
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Oppgave a
Denne oppgaven kan løses med summeformelen for en geometrisk rekke.
Siden pasienten tar en pille med 15 mg virkestoff hver dag, og 25% av dette brytes ned pr dag har vi at summen av virkestoffet $S_n$ er gitt ved:
$S_n = 15 + 15\cdot0.75 + 15\cdot0.75^2 + ...$
Hvorfor? La oss si at når n = 1 (dag 1) tar pasienten én pille. Da vil $S_1 = 15 \ mg$. Dagen etter vil vi legge til ytterligere 15 mg av virkestoffet og 25% av virkestoffet fra dagen før er brutt ned som gir vekstfaktoren $1-0.25 = 0.75$. Da må jo summen av virkestoffet etter dag 2 være $S_2 = 15 + 15\cdot0.75^1$. Slik kan vi fortsette resonnementet for $n$ dager.
Vi ser at kvotienten $k$ er $k=0.75$. Dermed kan vi skrive opp en formel for summen gitt ved
$S_{n} = a_1\frac{k^n-1}{k-1} = 15\frac{0.75^n-1}{0.75-1} = -60\big(0.75^n-1\big)$
Setter vi $n=10$ får vi da at $S_{10} = -60\big(0.75^{10}-1\big) = 56.62 \ mg$.
Oppgave c
Siden vi skal finne en prosentverdi som kroppen må bryte ned for at vi ikke skal overstige grensen på 50 mg, må vi finne en ny kvotient $k$.
Først finner vi summeformelen vår. Kvotienten $k$ må åpenbart oppfylle $|k| < 1 $ siden vi skal senke mengden virkestoff. Dermed kan vi la $n \to \infty$ og har at
$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} 15\frac{k^n-1}{k-1} = 15\frac{0-1}{k-1} = \frac{15}{1-k}$ der $k^n \to 0$ når $n \to \infty$ fordi $|k|<1$.
Vi setter dette lik 50 mg og løser likningen:
$\frac{15}{1-k} = 50$
$\frac{15}{50} = 1-k$
$-\frac{15}{50}+1 = k$
$ 0.7 = k$
Kvotienten $k$ er funnet. Den nødvendige nedbryteningen er derfor $1-k = 0.30$ som betyr at nedbrytningen av stoffet må være på 30% for at det maksimalt skal bli 50 mg av det i kroppen når pasienten har et forbruk over lengre tid.
Denne oppgaven kan løses med summeformelen for en geometrisk rekke.
Siden pasienten tar en pille med 15 mg virkestoff hver dag, og 25% av dette brytes ned pr dag har vi at summen av virkestoffet $S_n$ er gitt ved:
$S_n = 15 + 15\cdot0.75 + 15\cdot0.75^2 + ...$
Hvorfor? La oss si at når n = 1 (dag 1) tar pasienten én pille. Da vil $S_1 = 15 \ mg$. Dagen etter vil vi legge til ytterligere 15 mg av virkestoffet og 25% av virkestoffet fra dagen før er brutt ned som gir vekstfaktoren $1-0.25 = 0.75$. Da må jo summen av virkestoffet etter dag 2 være $S_2 = 15 + 15\cdot0.75^1$. Slik kan vi fortsette resonnementet for $n$ dager.
Vi ser at kvotienten $k$ er $k=0.75$. Dermed kan vi skrive opp en formel for summen gitt ved
$S_{n} = a_1\frac{k^n-1}{k-1} = 15\frac{0.75^n-1}{0.75-1} = -60\big(0.75^n-1\big)$
Setter vi $n=10$ får vi da at $S_{10} = -60\big(0.75^{10}-1\big) = 56.62 \ mg$.
Oppgave c
Siden vi skal finne en prosentverdi som kroppen må bryte ned for at vi ikke skal overstige grensen på 50 mg, må vi finne en ny kvotient $k$.
Først finner vi summeformelen vår. Kvotienten $k$ må åpenbart oppfylle $|k| < 1 $ siden vi skal senke mengden virkestoff. Dermed kan vi la $n \to \infty$ og har at
$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} 15\frac{k^n-1}{k-1} = 15\frac{0-1}{k-1} = \frac{15}{1-k}$ der $k^n \to 0$ når $n \to \infty$ fordi $|k|<1$.
Vi setter dette lik 50 mg og løser likningen:
$\frac{15}{1-k} = 50$
$\frac{15}{50} = 1-k$
$-\frac{15}{50}+1 = k$
$ 0.7 = k$
Kvotienten $k$ er funnet. Den nødvendige nedbryteningen er derfor $1-k = 0.30$ som betyr at nedbrytningen av stoffet må være på 30% for at det maksimalt skal bli 50 mg av det i kroppen når pasienten har et forbruk over lengre tid.