Diverste logaritmer & eksp. - ligninger

[Straamann]

Har kjørt meg litt fast med denne eksponentialligningen:

1/2 * 2 ^2x = 32


Det første jeg tenker er å dele på 1/2, slik at:

=> 2 ^2x = 16
=> 2 ^2x = 4 ^2

Så innføre briggsk logaritme:

=> lg 2^ 2x = lg 4^2
=> 2x lg 2 = 2 lg 4

men så står eg fast/ føler jeg er på feil spor.
Noen tips?

[Aleks855]

1/2 * 2 ^2x = 32


Det første jeg tenker er å dele på 1/2, slik at:

=> 2 ^2x = 16

Her har du gjort en liten feil på høyre side. Ser du den?

Ellers er du på riktig spor, og trenger bare å isolere $x$ i siste linje så er du nesten i mål.

[Straamann]

ja, selvsagt. 32 / 0.5 er jo 64

Da gikk resten som smurt, gitt!

[Aleks855]

Du kan ha godt av å fullføre fra siste linje i det forrige forsøket, hvis vi ser på den som en egen likning. Hvis du satte deg fast på den så kan det være noe å lære fra å løse den.

$2x \lg 2 = 2 \lg 4$

Klarer du å isolere $x$ her og finne løsninga på denne likninga? Man må anvende litt logaritme-regning her også, men svaret skal kunne beskrives uten logaritmer.

[Straamann]

Du kan ha godt av å fullføre fra siste linje i det forrige forsøket, hvis vi ser på den som en egen likning. Det tyder på at du stilte spørsmålet fordi du satte seg fast her?

$2x \lg 2 = 2 \lg 4$

Klarer du å isolere $x$ her og finne løsninga på denne likninga? Man må anvende litt logaritme-regning her også, men svaret skal kunne beskrives uten logaritmer.

Ja, la meg prøve:

$2x \lg 2 = 2 \lg 4$

2 x lg 2 = 2 lg 2^2
2x lg 2 = 4 lg 2
2x = (4 lg 2) / lg 2 (stryker lg2 mot lg2)

Svar: x = 4/2 = 2

[Aleks855]

Fint!

Egentlig hadde du jo kommet i mål med oppgaven på egen hånd, men fått feil svar grunnet en liten feil et annet sted i regninga. Snedig tilfeldighet

[Straamann]

Ja

Når vi har:

4^x - 5 + 2 = 3

4^x - 5 = 1

( x -5) lg 4 = lg 1

(x - 5) lg 4 = 0


... Hva gjør vi videre? Eller rettere sagt hva skjer her? lg 4 lager krøll i hodet mitt.

[Markus]

Overgangen $4^x-5=1 \Longrightarrow (x-5)\lg(4)=\lg(1)$ fungerer ikke på venstresiden av likhetstegnet.

Dette fordi $\lg(4^x-5) \neq \lg(4^x) - \lg(4^5) = x\lg(4) - 5\lg(4) = (x-5)\lg(4)$

Du må isolere $4^x$ alene;
$4^x-5=1$
$4^x = 6$
$\log_4(4^x) = \log_4(6)$
$x \log_4(4) = \log_4(6)$
$x = \log_4(6) = \frac{\log_4(6)}{\log_4(4)} = \frac{\lg(6)}{\lg(4)}$

[Straamann]

Overgangen $4^x-5=1 \Longrightarrow (x-5)\lg(4)=\lg(1)$ fungerer ikke på venstresiden av likhetstegnet.

Dette fordi $\lg(4^x-5) \neq \lg(4^x) - \lg(4^5) = x\lg(4) - 5\lg(4) = (x-5)\lg(4)$

Du må isolere $4^x$ alene;
$4^x-5=1$
$4^x = 6$
$\log_4(4^x) = \log_4(6)$
$x \log_4(4) = \log_4(6)$
$x = \log_4(6) = \frac{\log_4(6)}{\log_4(4)} = \frac{\lg(6)}{\lg(4)}$

Takk for forklaring Men jeg ser at jeg har skrevet inn oppgaven feil. Det skal være slik:

4^(x - 5) + 2 = 3

4^(x - 5) = 1

( x -5) lg 4 = lg 1

(x - 5) lg 4 = 0

Altså 4 opphøyd i (x -5) . Forandrer ikke det utregningen vesentlig?

[Markus]

Overgangen $4^x-5=1 \Longrightarrow (x-5)\lg(4)=\lg(1)$ fungerer ikke på venstresiden av likhetstegnet.

Dette fordi $\lg(4^x-5) \neq \lg(4^x) - \lg(4^5) = x\lg(4) - 5\lg(4) = (x-5)\lg(4)$

Du må isolere $4^x$ alene;
$4^x-5=1$
$4^x = 6$
$\log_4(4^x) = \log_4(6)$
$x \log_4(4) = \log_4(6)$
$x = \log_4(6) = \frac{\log_4(6)}{\log_4(4)} = \frac{\lg(6)}{\lg(4)}$

Takk for forklaring Men jeg ser at jeg har skrevet inn oppgaven feil. Det skal være slik:

4^(x - 5) + 2 = 3

4^(x - 5) = 1

( x -5) lg 4 = lg 1

(x - 5) lg 4 = 0

Altså 4 opphøyd i (x -5) . Forandrer ikke det utregningen vesentlig?

Okei, da så. Da er alle overgangene korrekt

Til slutt står du igjen med to faktorer på venstresiden: $(x-5)$ og $\lg(4)$. Siden dette er en likning, vet du at produktet av disse to skal være lik høyresiden, altså $0$.

Hvis du lar $a=x-5$ og $b=\lg(4)$ så vet du altså at $a \cdot b = 0$, men $b$, altså $\lg(4)$ kan naturligvis aldri være null, så da gjenstår det bare å finne ut når $a=0$. Ser du veien videre nå?

[Straamann]

Overgangen $4^x-5=1 \Longrightarrow (x-5)\lg(4)=\lg(1)$ fungerer ikke på venstresiden av likhetstegnet.

Dette fordi $\lg(4^x-5) \neq \lg(4^x) - \lg(4^5) = x\lg(4) - 5\lg(4) = (x-5)\lg(4)$

Du må isolere $4^x$ alene;
$4^x-5=1$
$4^x = 6$
$\log_4(4^x) = \log_4(6)$
$x \log_4(4) = \log_4(6)$
$x = \log_4(6) = \frac{\log_4(6)}{\log_4(4)} = \frac{\lg(6)}{\lg(4)}$

Takk for forklaring Men jeg ser at jeg har skrevet inn oppgaven feil. Det skal være slik:

4^(x - 5) + 2 = 3

4^(x - 5) = 1

( x -5) lg 4 = lg 1

(x - 5) lg 4 = 0

Altså 4 opphøyd i (x -5) . Forandrer ikke det utregningen vesentlig?

Okei, da så. Da er alle overgangene korrekt

Til slutt står du igjen med to faktorer på venstresiden: $(x-5)$ og $\lg(4)$. Siden dette er en likning, vet du at produktet av disse to skal være lik høyresiden, altså $0$.

Hvis du lar $a=x-5$ og $b=\lg(4)$ så vet du altså at $a \cdot b = 0$, men $b$, altså $\lg(4)$ kan naturligvis aldri være null, så da gjenstår det bare å finne ut når $a=0$. Ser du veien videre nå?

Ja, svaret må helt klart være 5, siden 5-5 gir 0 i den ene faktoren og lg 4 ikke kan være 0. Men hvordan viser vi det i utregningen? Må vi ikke metodisk "bli kvitt" lg 4, og så flytte 5 over på høyre side og bytte fortegn?

[Markus]

Slik ville jeg ført det:

$(x-5)\cdot \lg(4) = 0 \Longrightarrow (x-5) = 0 \vee \lg(4) = 0 \Longrightarrow x=5$

[Straamann]

Slik ville jeg ført det:

$(x-5)\cdot \lg(4) = 0 \Longrightarrow (x-5) = 0 \vee \lg(4) = 0 \Longrightarrow x=5$

Altså 0 del på lg 4 = 0 ?

[Markus]

Slik ville jeg ført det:

$(x-5)\cdot \lg(4) = 0 \Longrightarrow (x-5) = 0 \vee \lg(4) = 0 \Longrightarrow x=5$

Altså 0 del på lg 4 = 0 ?

Ikke helt.
$(x-5) \cdot \lg(4) = 0$ impliserer at $(x-5)=0$ eller at $\lg(4)=0$. Men siden sistnevnte aldri kan være sant, impliserer dette at likningen $(x-5) \cdot \lg(4) = 0$ er ekvivalent med $x-5=0$, som har løsning $x=5$.

Du kan selvfølgelig også dele på $\lg(4)$ på begge sider i dette tilfellet, og derav også oppnå samme resultat.

[Straamann]

Slik ville jeg ført det:

$(x-5)\cdot \lg(4) = 0 \Longrightarrow (x-5) = 0 \vee \lg(4) = 0 \Longrightarrow x=5$

Altså 0 del på lg 4 = 0 ?

Ikke helt.
$(x-5) \cdot \lg(4) = 0$ impliserer at $(x-5)=0$ eller at $\lg(4)=0$. Men siden sistnevnte aldri kan være sant, impliserer dette at likningen $(x-5) \cdot \lg(4) = 0$ er ekvivalent med $x-5=0$, som har løsning $x=5$.

Du kan selvfølgelig også dele på $\lg(4)$ på begge sider i dette tilfellet, og derav også oppnå samme resultat.

Fatter