Kay har skrevet et godt svar, men jeg ønsker å supplementere litt.
Alle analytiske funksjoner (både reelle og komplekse), kan uttrykkes ved såkalte Taylorrekker. Denne taylorrekken vil konvergere mot funksjonen, gitt at den er analytisk. Taylorrekken for en analytisk funksjon $f(x)$ uttrykkes som $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Her denoterer $f^{(n)}$ den $n$-te deriverte av $f(x)$. $f^{(0)}(x)$ er identisk med $f(x)$. Ved spesialtilfellet $a=0$ kalles rekken gjerne en Maclaurinrekke, og definisjonen reduseres til $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$
La oss se på et eksempel:
La $f(x)=x^3+2x^2+4x+5$, da er
$f(0)=5$
$f'(0)=4$
$f''(0)=4$
$f^{(3)}(0) = 6$
Og for alle $n > 3$ er $f^{(n)}(0)=0$. Hvis vi nå rekkeutvikler $f(x)$ ved en Maclaurinrekke får vi at $$f(x)=5 + 4x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{6}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 + \dots = 5 + 4x + 2x^2 + x^3 $$
Som var den samme funksjonen som vi startet med. Dette gjelder for alle polynomer - deres Maclaurinrekke er polynomet selv. Men hva med funksjoner som ikke er polynomer - for eksempel eksponentialfunksjonen? Siden $e^x$ er sin egen deriverte er $e^x$ kanskje den Maclaurinrekken som er lettest å rekkeutvikle. Ved å bruke samme fremgangsmåte som tidligere får vi $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^0}{n!}x^n = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$. Hvis du nå lar $x \to x^2$ som Kay har gjort får du Maclaurinrekken til $e^{x^2}$.
Nå kan vi uttrykke $e^{x^2}$ som et uendelig polynom, og polynomer er ikke vanskelig å integrere
$$\int e^{x^2} \text{d}x = \int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} \text{d}x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) \cdot n!}$$
Vi får altså integrert $e^{x^2}$ men ender opp med et uendelig polynom, slik at polynomet aldri blir helt rett, siden vi alltid kan legge til ekstra ledd. Hvis du nå ønsker å finne det bestemte integralet på et intervall $[a,b]$ vil selvfølgelig flere ledd i Maclaurinrekken gjøre svaret mer nøyaktig. Her bør du gjerne bruke pc, siden det vil ta svært lang tid for hånd.
I følge Wolfram Alpha er $\int_0^3 e^{x^2} \, \text{d}x \approx 1444.55$. Jeg definerte en funksjon i Geogebra $S(x)$ som Sum((x^((2*n)+1)/((2*n+1)*n!)), n, 0, 16). Altså de $16$ første leddene av integralet av maclaurinrekken til $e^{x^2}$. Hvis jeg nå tar $S(3)-S(0)$ får jeg $\approx 1437.1639$, som ikke er særlig langt unna det egentlige svaret. Hvis jeg dobler antall ledd får jeg $\approx 1444.5451$, som i allefall ikke er langt unna. Poenget her er at flere ledd gjør svaret mer nøyaktig.
Taylorrekker er noe man typisk lærer i en av de første matematikkfagene man har på universitet/høgskole, men du vil som R2-elev (antar du er det) ikke ha særlig problem med å lese deg opp på slike rekker, jeg vil særlig anbefale
denne videoen.
PS:
Kay skrev:Den letteste måten å uttrykke det på er for øvrig at [tex]\int e^{x^2} = \frac{1}{2}erfi(x) +C[/tex] hvor erfi(x) er den imaginære errorfunksjonen.
Det er vel $\int e^{x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \text{erfi}(x) + C$?
Edit:
Endret litt i formuleringen etter god tilbakemelding fra Dennis og Gustav.