Figuren viser en apparatoppstilling med en laser, et gitter med 300 linjer per mm og en skjerm plassert i en avstand 1,00 m fra gitteret. Lysstrålen fra laseren er rettet vinkelrett både mot gitteret og skjermen. Første lysmaksimum ligger 19,3 cm til siden for det sentrale maksimum.
a) Regn ut bølgelengden til laserlyset.
b) Regn ut avstanden mellom 2. og 3. lysmaksimum på skjermen.
c) Hvor mange maksima kan vi få på skjermen npr skjermen er 2,00 m bred og det sentrale maksimum ligger midt på?
fysikk vg2, 5.125 ergo
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Oppgave a
Her lønner det seg å tegne en oversiktlig tegning. Jeg får ikke gjort det her, men det er lurt å gjøre det.
Vi får bruk for formelen
$$d\sin \theta = n\lambda$$
Jeg kaller avstanden mellom nulte og første lysmaksimum for $L$, der $L = 19.3 \ cm = 0.193 \ m$.
Gidderkonstanten $d$ er gitt ved
$$ d = \frac{1 \ mm}{300} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{300} \approx 3.33 \cdot 10^{-6} \ m$$
La oss kalle avstanden fra skjermen og gitteren for $x$, der $x = 1 \ m$.
Vi kan nå finne vinkelen mellom nulte og første orden ved å bruke at $\tan \theta = \frac{L}{x}$.
Vi bruker den omvendte funksjonen til $\tan$ for å finne vinkelen $\theta$:
$$ \theta = \arctan{\frac{L}{x}} = \arctan{\frac{0.193}{1}} \approx 10.92 \ ^o$$
Siden vi skal finne bølgelengden til laserlyset og vi skal bruke informasjonen vi har om første maksimum er $n=1$. Vi har nå alt vi trenger for å regne ut bølgelenden
$$d\sin \theta = n\lambda $$
$$ \lambda = 3.33 \cdot 10^-6\cdot \sin 10.92 \ ^o \approx 6.30 \cdot 10^{-7} = 630 \cdot 10^{-9} \ m = 630 \ nm$$.
Bølgelengder altså ca 630 nm.
Oppgave b
La oss kalle lengden til andre og tredje maksimum fra nulte maksimum for henholdsvis $L_2$ og $L_3$.
Avstanden mellom andre og tredje maksimum må da være $\Delta L = L_3 - L_2$.
Men for å finne ut $L_3$ og $L_2$ bør vi finne de tilhørende vinklene deres. La oss bruke samme indekser og kalle de for $\theta_2$ og $\theta_3$.
Vi har at
$$ d\sin \theta = n\lambda $$
Vi kjenner jo alt annen enn vinklene, så vi kan omforme uttrykke og bruke den omvendte funksjonen til sinus.
$$ \sin \theta = \frac{n\lambda}{d}$$
$$ \theta = \arcsin\frac{n\lambda}{d}$$
Vi kan da regne ut $\theta_2$ og $ \theta_3$:
$$\theta_2 = \arcsin\frac{2\cdot630\cdot10^{-9}}{3.33\cdot10^{-6}} \approx 22.23 \ ^o $$
$$\theta_3 = \arcsin\frac{3\cdot630\cdot10^{-9}}{3.33\cdot10^{-6}} \approx 34.58 \ ^o $$
Vi så i oppgave a at $\tan \theta = \frac{L}{x} = L$ fordi $x = 1$.
Dette betyr at vi nå kan finne $L_2$ og $L_3$ og dermed også differansen mellom de.
$$ \Delta L = L_3 - L_2 = \tan\theta_3 - \tan\theta_2 = \tan(34.58) - \tan(22.23) \approx 0.28 \ m = 28 \ cm$$
Avstanden mellom 2. og 3. lysmaksimum på skjermen er altså tilnærmet 28 cm.
Oppgave c
Hvis skjermen er 2 m bred og nulte maksimum ligger midt på betyr det at avstand fra nulte maksimum til kanten er 1 m.
Dermed kan vi maksimalt ha en vinkel på $45 \ ^o$. Hvorfor? Fordi $\tan\theta = \frac{L}{x} = \frac{1}{1} = 1$. Dette medfører at $\theta_{maks} = 45 ^o$.
Vi bruker formelen $d\sin\theta = n\lambda$ igjen og løser den med hensyn på $n$.
$$ n = \frac{d\sin\theta_{maks}}{\lambda} = \frac{3.33\cdot10^{-6}\cdot\sin45}{630\cdot10^{-9}} \approx 3.73 $$
Siden $n$ bare kan være positive heltall, ser vi at $n$ maksimalt kan være 3. $n=4$ ville vært utenfor skjermen. Dermed gir det 4 lysmaksima, fordi $n = 0, 1, 2, 3$.
Her lønner det seg å tegne en oversiktlig tegning. Jeg får ikke gjort det her, men det er lurt å gjøre det.
Vi får bruk for formelen
$$d\sin \theta = n\lambda$$
Jeg kaller avstanden mellom nulte og første lysmaksimum for $L$, der $L = 19.3 \ cm = 0.193 \ m$.
Gidderkonstanten $d$ er gitt ved
$$ d = \frac{1 \ mm}{300} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{300} \approx 3.33 \cdot 10^{-6} \ m$$
La oss kalle avstanden fra skjermen og gitteren for $x$, der $x = 1 \ m$.
Vi kan nå finne vinkelen mellom nulte og første orden ved å bruke at $\tan \theta = \frac{L}{x}$.
Vi bruker den omvendte funksjonen til $\tan$ for å finne vinkelen $\theta$:
$$ \theta = \arctan{\frac{L}{x}} = \arctan{\frac{0.193}{1}} \approx 10.92 \ ^o$$
Siden vi skal finne bølgelengden til laserlyset og vi skal bruke informasjonen vi har om første maksimum er $n=1$. Vi har nå alt vi trenger for å regne ut bølgelenden
$$d\sin \theta = n\lambda $$
$$ \lambda = 3.33 \cdot 10^-6\cdot \sin 10.92 \ ^o \approx 6.30 \cdot 10^{-7} = 630 \cdot 10^{-9} \ m = 630 \ nm$$.
Bølgelengder altså ca 630 nm.
Oppgave b
La oss kalle lengden til andre og tredje maksimum fra nulte maksimum for henholdsvis $L_2$ og $L_3$.
Avstanden mellom andre og tredje maksimum må da være $\Delta L = L_3 - L_2$.
Men for å finne ut $L_3$ og $L_2$ bør vi finne de tilhørende vinklene deres. La oss bruke samme indekser og kalle de for $\theta_2$ og $\theta_3$.
Vi har at
$$ d\sin \theta = n\lambda $$
Vi kjenner jo alt annen enn vinklene, så vi kan omforme uttrykke og bruke den omvendte funksjonen til sinus.
$$ \sin \theta = \frac{n\lambda}{d}$$
$$ \theta = \arcsin\frac{n\lambda}{d}$$
Vi kan da regne ut $\theta_2$ og $ \theta_3$:
$$\theta_2 = \arcsin\frac{2\cdot630\cdot10^{-9}}{3.33\cdot10^{-6}} \approx 22.23 \ ^o $$
$$\theta_3 = \arcsin\frac{3\cdot630\cdot10^{-9}}{3.33\cdot10^{-6}} \approx 34.58 \ ^o $$
Vi så i oppgave a at $\tan \theta = \frac{L}{x} = L$ fordi $x = 1$.
Dette betyr at vi nå kan finne $L_2$ og $L_3$ og dermed også differansen mellom de.
$$ \Delta L = L_3 - L_2 = \tan\theta_3 - \tan\theta_2 = \tan(34.58) - \tan(22.23) \approx 0.28 \ m = 28 \ cm$$
Avstanden mellom 2. og 3. lysmaksimum på skjermen er altså tilnærmet 28 cm.
Oppgave c
Hvis skjermen er 2 m bred og nulte maksimum ligger midt på betyr det at avstand fra nulte maksimum til kanten er 1 m.
Dermed kan vi maksimalt ha en vinkel på $45 \ ^o$. Hvorfor? Fordi $\tan\theta = \frac{L}{x} = \frac{1}{1} = 1$. Dette medfører at $\theta_{maks} = 45 ^o$.
Vi bruker formelen $d\sin\theta = n\lambda$ igjen og løser den med hensyn på $n$.
$$ n = \frac{d\sin\theta_{maks}}{\lambda} = \frac{3.33\cdot10^{-6}\cdot\sin45}{630\cdot10^{-9}} \approx 3.73 $$
Siden $n$ bare kan være positive heltall, ser vi at $n$ maksimalt kan være 3. $n=4$ ville vært utenfor skjermen. Dermed gir det 4 lysmaksima, fordi $n = 0, 1, 2, 3$.
