Parallelle vektorer
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Oppgave 6.133
Likningen nederst til venstre på arket ditt er korrekt, dvs. $$s(-\vec{b}) + \frac25s\vec{a} = -\vec{b}+\vec{a}+t\vec{b}.$$ Fra dette får vi to likninger, $$-s = -1 + t\text{ og }\frac25s = 1,$$ ikke $s=-1 + t$ slik du har skrevet. Substituerer du $s=\frac52$ inn i den første likningen får du riktig svar, $s = 1 - \frac52 = -\frac32$.
Selv om dette ikke har gjort at du har fått feil svar, er det to ting til å ta tak i:
Figuren din er feil. Punktet $Q$ vil ikke ligge på linja $BC$. Vi har at $\vec{BQ} = t\vec{b}$, ikke at $\vec{BQ} = t\vec{BC}$.
Brøken du har skrevet i likningen for $s$ er tvetydig når du ikke setter inn parenteser. Skriv heller $\frac{\left(\frac25\right)}{\left(\frac25\right)},$ eller enda enklere: $$\frac25s = 1$$ $$2s = 5$$ $$s = \frac52.$$
Oppgave 6.134
Vi tegner først en figur (vedlagt nedenfor).
(a) $$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{a} + \frac34\vec{BC} = \vec{a} + \frac34\left(\vec{b} - \vec{a}\right) = \frac14\vec{a} + \frac34\vec{b}.$$
(b) $$\vec{CQ} = \vec{CA} + \vec{AQ} = -\vec{AC} + \frac14\vec{AB} = \frac14\vec{a} - \vec{b}.$$
(c) Ettersom $S$ er skjæringspunktet mellom linjene $AP$ og $CQ$, vet vi at $S$ ligger på linja $AP$. Altså ligger $A, S, P$ på samme linje, så $\vec{AS}$ og $\vec{AP}$ er parallelle. Det vil si, det finnes $x\in\mathbb{R}$ slik at $\vec{AS} = x\vec{AP}.$
På samme vis vet vi at $C, S, Q$ ligger på samme linje, så $\vec{CS} \parallel \vec{CQ}$. Altså vet vi at det finnes $y\in\mathbb{R}$ slik at $\vec{CS} = y\vec{CQ}.$ Nå, $$\vec{CS} = \vec{CA} + \vec{AS} = \vec{AS} - \vec{AC},$$ så $\vec{AS} - \vec{AC} = y\vec{CQ}$. Altså, $\vec{AS} = \vec{AC} + y\vec{CQ}.$
(d) Oppgave (c) gir oss to uttrykk for $\vec{AS}$. Vi kan sette likhetstegn mellom disse: $$x\vec{AP} = \vec{AC} + y\vec{CQ}$$ $$x\left(\frac14\vec{a} + \frac34\vec{b}\right) = \vec{b} + y\left(\frac14\vec{a} - \vec{b}\right).$$ Dette gir oss to likninger, for koeffisientene for $\vec{a}$ og $\vec{b}$, henholdsvis. $$\frac14x = \frac14y\text{ }\text{ og }\text{ }\frac34x = 1 - y.$$ Den første likningen forteller oss at $x=y$. Substituerer vi dette inn i den andre likningen får vi $$\frac34x = 1-x$$ $$3x = 4 - 4x$$ $$7x = 4$$ $$x=\frac47.$$ Dermed ser vi at $$\vec{AS} = \frac47\vec{AP} = \frac47\left( \frac14\vec{a} + \frac34\vec{b}\right) = \frac17\vec{a} + \frac37\vec{b}.$$
Likningen nederst til venstre på arket ditt er korrekt, dvs. $$s(-\vec{b}) + \frac25s\vec{a} = -\vec{b}+\vec{a}+t\vec{b}.$$ Fra dette får vi to likninger, $$-s = -1 + t\text{ og }\frac25s = 1,$$ ikke $s=-1 + t$ slik du har skrevet. Substituerer du $s=\frac52$ inn i den første likningen får du riktig svar, $s = 1 - \frac52 = -\frac32$.
Selv om dette ikke har gjort at du har fått feil svar, er det to ting til å ta tak i:
Figuren din er feil. Punktet $Q$ vil ikke ligge på linja $BC$. Vi har at $\vec{BQ} = t\vec{b}$, ikke at $\vec{BQ} = t\vec{BC}$.
Brøken du har skrevet i likningen for $s$ er tvetydig når du ikke setter inn parenteser. Skriv heller $\frac{\left(\frac25\right)}{\left(\frac25\right)},$ eller enda enklere: $$\frac25s = 1$$ $$2s = 5$$ $$s = \frac52.$$
Oppgave 6.134
Vi tegner først en figur (vedlagt nedenfor).
(a) $$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{a} + \frac34\vec{BC} = \vec{a} + \frac34\left(\vec{b} - \vec{a}\right) = \frac14\vec{a} + \frac34\vec{b}.$$
(b) $$\vec{CQ} = \vec{CA} + \vec{AQ} = -\vec{AC} + \frac14\vec{AB} = \frac14\vec{a} - \vec{b}.$$
(c) Ettersom $S$ er skjæringspunktet mellom linjene $AP$ og $CQ$, vet vi at $S$ ligger på linja $AP$. Altså ligger $A, S, P$ på samme linje, så $\vec{AS}$ og $\vec{AP}$ er parallelle. Det vil si, det finnes $x\in\mathbb{R}$ slik at $\vec{AS} = x\vec{AP}.$
På samme vis vet vi at $C, S, Q$ ligger på samme linje, så $\vec{CS} \parallel \vec{CQ}$. Altså vet vi at det finnes $y\in\mathbb{R}$ slik at $\vec{CS} = y\vec{CQ}.$ Nå, $$\vec{CS} = \vec{CA} + \vec{AS} = \vec{AS} - \vec{AC},$$ så $\vec{AS} - \vec{AC} = y\vec{CQ}$. Altså, $\vec{AS} = \vec{AC} + y\vec{CQ}.$
(d) Oppgave (c) gir oss to uttrykk for $\vec{AS}$. Vi kan sette likhetstegn mellom disse: $$x\vec{AP} = \vec{AC} + y\vec{CQ}$$ $$x\left(\frac14\vec{a} + \frac34\vec{b}\right) = \vec{b} + y\left(\frac14\vec{a} - \vec{b}\right).$$ Dette gir oss to likninger, for koeffisientene for $\vec{a}$ og $\vec{b}$, henholdsvis. $$\frac14x = \frac14y\text{ }\text{ og }\text{ }\frac34x = 1 - y.$$ Den første likningen forteller oss at $x=y$. Substituerer vi dette inn i den andre likningen får vi $$\frac34x = 1-x$$ $$3x = 4 - 4x$$ $$7x = 4$$ $$x=\frac47.$$ Dermed ser vi at $$\vec{AS} = \frac47\vec{AP} = \frac47\left( \frac14\vec{a} + \frac34\vec{b}\right) = \frac17\vec{a} + \frac37\vec{b}.$$
- Vedlegg
-
- trekant.jpg (14.7 kiB) Vist 831 ganger