matematikk.net

Hvordan gjør jeg denne?
y'-y/x=xsinx

mattenøtta skrev:Hvordan gjør jeg denne?
y'-y/x=xsinx

[tex]y'-\frac{y}{x}=xsin(x)[/tex]

[tex]y'-\frac{1}{x}y=xsin(x)[/tex]

Integrerende faktor = [tex]\frac{1}{x}[/tex]

[tex]\frac{y'}{x}-\frac{1}{x^2}y=\frac{1}{x}xsin(x)=sin(x)[/tex]

ut fra produktregelen får vi at

[tex]\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y)=sin(x)[/tex]

[tex]\frac{1}{x}y=\int sin(x)dx=-cos(x)+C[/tex]

[tex]y=-xcos(x)+Cx[/tex]

Funksjonen er på formen $y'(x)+f(x)y(x)=g(x)$, slik at vi kan bruke integrerende faktor.

Her er $f(x)=-\frac{1}{x}$, slik at den antideriverte blir $F(x)=-\ln(x) $, og da blir integrerende faktor $e^{F(x)}=e^{-\ln(x)}=e^{\ln{(x^{-1})}}=x^{-1}=\frac{1}{x}$

Multipliser nå med integrerende faktor på begge sider av likhetstegnet av den originale diff.likningen
$\frac{1}{x}\left (y'-\frac{y}{x} \right) = \frac{1}{x} \cdot x \cdot \sin(x)$
$\left ( \frac{1}{x}y \right )'=\sin(x)$
$\frac{1}{x}y = \int \sin(x) \, \text{d}x = -\cos(x) + c_1$

Og da oppnår vi resultatet
$y = -x \cos(x) + xc_1 = x(-\cos(x)+c_1)$

Edit: Så Kay hadde svart etter jeg hadde postet. Lar denne bare stå allikevel.