matematikk.net

Vi begynner å dyrke en bakteriekultur. La y være tallet på bakterier etter t timer. Vi antar at vekstfarten til y til enhver tid er proporsjonal med tallet på bakterier.
Forklar at y er en løsning av differensiallikningen y'=ky der k er en konstant.


Hvordan skal jeg forklare det?

Vekstfarten til y er proporsjonal med tallet på bakterier

Det å være proporsjonal med noe, betyr at det er en eller annen konstant multiplisert med det.

Altså, hvis vi sier at $a$ er proporsjonal med $b$, så betyr det at det finnes en konstant $k$ slik at $a = k\cdot b$.

Vi kan da tolke hver del av setninga for seg.

mattenøtta skrev:vekstfarten til y

$y'$

er

$=$

proporsjonal med

$k \cdot \ldots$

tallet på bakterier

$y$

Vekstfarten til y er proporsjonal med tallet på bakterier

$y' = k\cdot y$

ok, takk!
Jeg har også problemer med denne oppgava:
i utopistan er det i dag 9 millioner innbyggere. folketallet er på ethvert tidspunkt i ferd med å øke 5% av folketallet per år. så blir landet rammet av en epidemi. myndighetene regner med at om t år vil tallet på døde av epidemien være 0,06*t millioner per år.
N'(t) - 0,05N(t) =-0,06t
Løs denne differensiallikningen og vis at folketallet i millioner om t år er gitt ved: N(t) = 1,2t + 24 - 15e^(0,05t)

Her får jeg: y=0,6t + 9t*e^(0,05t), men det er jo så klart feil

$N'(t) - 0,05N(t) =-0,06t \\
y' - 0.05y = - 0.06t \\
(ye^{-0.05t})' = -0.06te^{-0.05t} \\
y = -0.06e^{0.05t}\int te^{-0.05t} dt$

Delvis integrasjon $f = t (f' = 1), g' = e^{-0.05t} (g = -\frac{e^{-0.05t}}{0.05})$

$fg' =fg - \int f'g$
$te^{-0.05t} = -\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \int -\frac {e^{0.05t}}{0.05}dt =-\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C \\

y = -0.06e^{0.05t}(-\frac{te^{-0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C) \\

y = 1.2t + 24 + Ce^{0.05t}$

Du har betingelsen y(0) = 9, altså
9 - 24 = C, ergo C = -15.

Du får da løsningen
$N(t) = 1.2t + 24 - 15e^{0.05}$

Fysikkmann97 skrev:$N'(t) - 0,05N(t) =-0,06t \\
y' - 0.05y = - 0.06t \\
(ye^{-0.05t})' = -0.06te^{-0.05t} \\
y = -0.06e^{0.05t}\int te^{-0.05t} dt$

Delvis integrasjon $f = t (f' = 1), g' = e^{-0.05t} (g = -\frac{e^{-0.05t}}{0.05})$

$fg' =fg - \int f'g$
$te^{-0.05t} = -\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \int -\frac {e^{0.05t}}{0.05}dt =-\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C \\

y = -0.06e^{0.05t}(-\frac{te^{-0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C) \\

y = 1.2t + 24 + Ce^{0.05t}$

Du har betingelsen y(0) = 9, altså
9 - 24 = C, ergo C = -15.

Du får da løsningen
$N(t) = 1.2t + 24 - 15e^{0.05}$

Hvordan finner man når folketallet er 10millioner?

Du løser ligningen [tex]N(t) = 10[/tex] for [tex]t[/tex].

ErikAndre skrev:Du løser ligningen [tex]N(t) = 10[/tex] for [tex]t[/tex].

Ja, men etter litt omstokking får jeg e^(0,05*t)=(14/15) + 0,08*t

Hvordan skal man få t alene?