Skalarprodukt
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
6.142
Vi har fått oppgitt i oppgaven at $\vec{e_1}$ og $\vec{e_2}$ er enhetsvektorer. Det vil si, de har lengde $1$. Slik du har tegnet dem har de gal lengde, og derfor får du også galt svar senere i oppgaven. Du har tegnet $\vec{v}$ riktig, men prøv på tegningen én gang til, denne gangen med riktig lengde på $\vec{e_1}$ og $\vec{e_2}$. Merk deg at disse enhetsvektorene er ortogonale, så $\vec{e_1}\cdot\vec{e_2} = 0$. Du har regnet (b) riktig.
(c) $$\cos u = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}},$$ så $$u = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx 56.31^{\circ}.$$
(d) $$\vec{v}\cdot\vec{e_1} = \left(4\vec{e_1} + 6\vec{e_2}\right)\cdot\vec{e_1} = 4\vec{e_1}^2 + 6\vec{e_2}\cdot\vec{e_1} = 4\cdot 1 + 6\cdot 0 = 4.$$
(e) $$\vec{v}\cdot\vec{e_2} = \left(4\vec{e_1} + 6\vec{e_2}\right)\cdot\vec{e_2} = 4\vec{e_1}\cdot\vec{e_2} + 6\vec{e_2}^2 = 6.$$
6.156
Ettersom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ spenner ut parallellogrammet, vet vi at to av de fire vinklene vil være vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$. Nå, $\vec{a}\cdot\vec{b} = 8 - 15 = -7,$ $|\vec{a}| = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ og $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} = 2\sqrt{6},$ så hvis $\theta$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$, får vi at $$-7 = \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 10\sqrt{6}\cos\theta$$ $$\cos\theta = -\frac{7}{10\sqrt{6}}$$ $$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{10\sqrt{6}}\right) \approx 106.6^{\circ}.$$ De to siste vinklene i parallellogrammet er $180^{\circ} - \theta \approx 180^{\circ} - 106.6^{\circ} = 73.4^{\circ}.$
Vi har fått oppgitt i oppgaven at $\vec{e_1}$ og $\vec{e_2}$ er enhetsvektorer. Det vil si, de har lengde $1$. Slik du har tegnet dem har de gal lengde, og derfor får du også galt svar senere i oppgaven. Du har tegnet $\vec{v}$ riktig, men prøv på tegningen én gang til, denne gangen med riktig lengde på $\vec{e_1}$ og $\vec{e_2}$. Merk deg at disse enhetsvektorene er ortogonale, så $\vec{e_1}\cdot\vec{e_2} = 0$. Du har regnet (b) riktig.
(c) $$\cos u = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}},$$ så $$u = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx 56.31^{\circ}.$$
(d) $$\vec{v}\cdot\vec{e_1} = \left(4\vec{e_1} + 6\vec{e_2}\right)\cdot\vec{e_1} = 4\vec{e_1}^2 + 6\vec{e_2}\cdot\vec{e_1} = 4\cdot 1 + 6\cdot 0 = 4.$$
(e) $$\vec{v}\cdot\vec{e_2} = \left(4\vec{e_1} + 6\vec{e_2}\right)\cdot\vec{e_2} = 4\vec{e_1}\cdot\vec{e_2} + 6\vec{e_2}^2 = 6.$$
6.156
Ettersom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ spenner ut parallellogrammet, vet vi at to av de fire vinklene vil være vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$. Nå, $\vec{a}\cdot\vec{b} = 8 - 15 = -7,$ $|\vec{a}| = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ og $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} = 2\sqrt{6},$ så hvis $\theta$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$, får vi at $$-7 = \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 10\sqrt{6}\cos\theta$$ $$\cos\theta = -\frac{7}{10\sqrt{6}}$$ $$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{10\sqrt{6}}\right) \approx 106.6^{\circ}.$$ De to siste vinklene i parallellogrammet er $180^{\circ} - \theta \approx 180^{\circ} - 106.6^{\circ} = 73.4^{\circ}.$