differensiallikninger

[mattenøtta]

ei 4 dm høy kjegle rommer 10 L vann. kjegla står med spissen ned. vi stikker et lite hull i spissen slik at vannet renner sakte ut. etter 31 minutter er vannhøyden 1 dm. la y være vannhøyden t minutter etter at vi stakk hull i kjegla. vekstfarten til y er gitt ved [tex]y^{2}*y'=-k*\sqrt{y}[/tex]

Her bruker fasiten formlikhet for å finne svaret, men er det noen annen mulighet å gjøre det på? Jeg prøvde å finne radius i kjegla vha. [tex]V=\frac{pi*r^{2}*h}{3}[/tex] og fikk da [tex]r = 1.55[/tex]. Da jeg så regna ut resten fikk jeg 4,9 L. Fasiten sier 4,35 L

[DennisChristensen]

Hva er spørsmålet?

[mattenøtta]

Hva er spørsmålet?

oi, glemte visst det: Hvor mange liter vann er det i kjegla etter 16 min?

[DennisChristensen]

ei 4 dm høy kjegle rommer 10 L vann. kjegla står med spissen ned. vi stikker et lite hull i spissen slik at vannet renner sakte ut. etter 31 minutter er vannhøyden 1 dm. la y være vannhøyden t minutter etter at vi stakk hull i kjegla. vekstfarten til y er gitt ved [tex]y^{2}*y'=-k*\sqrt{y}[/tex]

Her bruker fasiten formlikhet for å finne svaret, men er det noen annen mulighet å gjøre det på? Jeg prøvde å finne radius i kjegla vha. [tex]V=\frac{pi*r^{2}*h}{3}[/tex] og fikk da [tex]r = 1.55[/tex]. Da jeg så regna ut resten fikk jeg 4,9 L. Fasiten sier 4,35 L

Først løser vi differensiallikningen: $$y^2y' = -k\sqrt{y}$$ $$y^{\frac32}y' = -k$$ $$\int y^{\frac32}dy = -k\int dt$$ $$\frac25y^{\frac52} = -kt + C, \text{ }C\in\mathbb{R}.$$ Initialbetingelsene $y(0) = 4$ og $y(31) = 1$ gir at $C = 12.8$ og $k=0.4$. Dermed ser vi at $\frac25y(16)^{\frac52} = - 0.4\cdot 16 + 12.8,$ så $y(16) \approx 3.0314.$

Jeg ville nå brukt formlikheten mellom trekantene i snittet i kjegla for å finne radiusen til vannvolumet. Det vil si, $\frac{r_{\text{ny}}}{r_{\text{orig.}}} = \frac{h_{\text{ny}}}{h_{\text{orig.}}}$. Fra dette får vi at $r_{\text{ny}} = \frac{h_{\text{ny}}}{h_{\text{orig.}}}r_{\text{orig.}} = \frac{3.0314}{4}\cdot 1.5451 \approx 1.171.$ Fra formelen for volum av kjegle får du altså at det er $\approx \frac{\pi \cdot 1.171^2\cdot 3.0314}{3} \approx 4.35 dm^3 = 4.35L.$

[mattenøtta]

Ahh, ser hva jeg gjorde feil nå. Glemte å finne den nye radiusen, og brukte i stedet de gamle haha. Takk for svar