integral av (lnx)^2
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Cantor
- Innlegg: 126
- Registrert: 14/08-2017 15:15
Hvordan gjør man integralet av (lnx)^2? Må man bruke delvis integrasjon og variabelskifte, og hvordan skal jeg gjøre det?
ja: delvis integrasjon og substitusjon:mattenøtta skrev:Hvordan gjør man integralet av (lnx)^2? Må man bruke delvis integrasjon og variabelskifte, og hvordan skal jeg gjøre det?
[tex]I= x\ln^2(x) - 2\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx[/tex]
etc...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x + C$$
Sist redigert av Markus den 04/02-2018 23:01, redigert 1 gang totalt.
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Dette er riktig tenkt, men du har en liten feil i siste linje. Når du fullfører substitusjonen får du svaret $\int \left(\ln x\right)^2dx = x\left(\ln x\right)^2 - 2x\ln x + 2x + C, C\in\mathbb{R}.$Markus skrev:En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2xe^x + 2x + C$$
Selvfølgelig, slurva litt der - takk for at du påpekte det! Rettet opp nå.DennisChristensen skrev:Dette er riktig tenkt, men du har en liten feil i siste linje. Når du fullfører substitusjonen får du svaret $\int \left(\ln x\right)^2dx = x\left(\ln x\right)^2 - 2x\ln x + 2x + C, C\in\mathbb{R}.$Markus skrev:En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2xe^x + 2x + C$$
-
- Cantor
- Innlegg: 126
- Registrert: 14/08-2017 15:15
Takk! Kan du bare forklare hvorfor jeg kan sette at u=lnx <-> e^u=x?Markus skrev:En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x + C$$
Relasjonen over følger av at de er omvendte funksjoner av hverandre.mattenøtta skrev:Takk! Kan du bare forklare hvorfor jeg kan sette at u=lnx <-> e^u=x?Markus skrev:En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x + C$$
$u(x) = \ln x(u)$
$ e^{u(x)} = e^{\ln x(u)}$
$ e^{u(x)} = x(u)$
Man sløyfer gjerne "argument"-delen av funksjonene og skriver $u(x) = u$ og $x(u) = x$.