funksjoner og overflate

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
mattenøtta
Cantor
Cantor
Innlegg: 126
Registrert: 14/08-2017 15:15

En funksjon er gitt ved
f(x)=e^x


Et flatestykke F er avgrenset av y-aksen, grafen til f og linja y=k, der k er et tall som er større enn 1.

a) Finn arealet av flatestykket F når k=2.

b) Bestem tallet k slik at flatestykket F får arealet 1.

c) Vi dreier flatestykket F 360 grader om x-aksen. Finn volumet av omdreiningsgjenstanden når k=e^2

Jeg har gjort a, men får ikke til b... Det her er del 2 oppgave :)
mattenøtta
Cantor
Cantor
Innlegg: 126
Registrert: 14/08-2017 15:15

DennisChristensen skrev:
mattenøtta skrev:En funksjon er gitt ved
f(x)=e^x


Et flatestykke F er avgrenset av y-aksen, grafen til f og linja y=k, der k er et tall som er større enn 1.

a) Finn arealet av flatestykket F når k=2.

b) Bestem tallet k slik at flatestykket F får arealet 1.

c) Vi dreier flatestykket F 360 grader om x-aksen. Finn volumet av omdreiningsgjenstanden når k=e^2

Jeg har gjort a, men får ikke til b... Det her er del 2 oppgave :)
Du mener vel at $k$ er et tall som er større enn $0$? Ellers finnes det ikke noe svar på oppgave (b). Dessuten regner jeg også med at $F$ er avgrenset av $x$-aksen. Ellers er ikke arealet av $F$ definert.

(b) Vi ønsker å finne $k>0$ slik at $\int_0^k f(x) dx = 1.$ Vi løser denne likningen: $$\int_0^k e^x = 1$$ $$e^k - e^0 = 1$$ $$e^k = 2$$ $$k = \ln 2.$$

(c) Volumet $V$ er gitt ved $$V = \pi \int_0^{e^2}f(x)^2 dx = \pi \int_0^{e^2}e^{2x} dx = \pi\left[\frac12e^{2x}\right]_0^{e^2} = \frac{\pi}{2}\left(e^{2e^2} - 1\right).$$
Oppgava sier større enn 1, ikke 0. Fasiten sier at k=e
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

mattenøtta skrev:En funksjon er gitt ved
f(x)=e^x


Et flatestykke F er avgrenset av y-aksen, grafen til f og linja y=k, der k er et tall som er større enn 1.

a) Finn arealet av flatestykket F når k=2.

b) Bestem tallet k slik at flatestykket F får arealet 1.

c) Vi dreier flatestykket F 360 grader om x-aksen. Finn volumet av omdreiningsgjenstanden når k=e^2

Jeg har gjort a, men får ikke til b... Det her er del 2 oppgave :)
Beklager, leste første gang at flaten var avgrenset av linja $x=k$, hvilket gav meg helt feil svar. Det gir da selvsagt mening at $k>1$.

(b) Vi ønsker først å finne ut over hvilket interval $[0,x_1]$ vi må integrere $f$ for at dens endelige funksjonsverdi skal være $f(x_1) = k$ i høyre ende av intervallet. Altså løser vi likningen $f(x_1) = e^{x_1} = k$, og får at $x_1 = \ln k.$ Dermed får vi korrekt uttrykk for arealet av flaten $F$, og setter dette lik $1$: $$k\cdot\ln k -\int_0^{\ln k} f(x) dx = 1$$ $$k\cdot\ln k - \int_0^{\ln k} e^x dx = 1$$ $$k\cdot \ln k - \left(e^{\ln k} - e^0\right) = 1$$ $$k\cdot\ln k - k = 0$$ $$k(\ln k -1)=0,$$ så $\ln k = 1$ ettersom $k>1$. Dermed får vi løsningen $k=e$.

(c) I dette tilfellet er $x_1 = \ln k = \ln e^2 = 2.$ For å finne volumet av omdreiningslegemet finner vi først volumet $V_0$ av figuren som dannes når rektangelet avgrenset av $x-$aksen, $y-$aksen og linjene $x=\ln k$, $y=k$ roteres om $x-$aksen, nemlig: $$V_0 = \pi k^2\cdot\ln k.$$ I vårt tilfelle er $k=e^2,$ så vi får at $$V_0 = \pi e^4\cdot 2 = 2\pi e^4.$$ Dernest subraherer vi volumet $V_1$ av figuren som dannes når området avgrenset av $x-$-aksen, $y-$aksen, grafen til $f$ og linja $x=\ln k$ roteres om $x-$aksen, nemlig: $$V_1 = \pi\int_0^2 f(x)^2 dx = \pi\int_0^2 e^{2x} dx = \pi\left[\frac12e^{2x}\right]_0^2 = \frac{\pi}{2}\left(e^4 - 1\right).$$ Volumet $V$ av det originale omdreiningslegemet er altså gitt ved $$V = V_0 - V_1 = 2\pi e^4 - \frac{\pi}{2}\left(e^4 - 1\right) = \frac{3\pi}{2}e^4 + \frac{\pi}{2}. $$
Svar