rasjonal funksjon

[Straamann]

vi har følgende rasjonale funksjon:

f(x) = (x^2 + 5x +6) / (x + 3)

Nullpunktetene må være de verdiene av x som gir teller = 0. Det vil si enten x = (-2) eller x = (-3).
Men x = (-3) gir null i nevner, derfor må nullpunktet være x = (-2).

Bruddpunkt, finnes det her? Jeg ser at vi får null i nevner ved å sette x = (-3). Men x = (-3) vil jo gi null i teller, og dermed får vi ingen vertikal asymptote.

Men så oppdager jeg at telleren i denne rasjonale funksjonen kan faktoriseres til (x+2) (x+3). Dermed kan vi egentlig
forkorte vekk hele nevneren? Og da finnes det ikke noe bruddpunkt i denne funksjonen - den blir en rett linje

f(x) = x + 2

Usikker på om jeg har forstått dette full ut. Er det noen annen måte jeg kunne ha sett med en gang at vi ikke får et bruddpunkt i denne rasj. funksjon?
Det er så fort gjort å tenke at x = (-3) gir null i nevner, og at det dermed må være bruddpunkt. Er det slik at bruddpunkt ikke finnes dersom x-verdien som gir null i nevner også gir null i teller?

[DennisChristensen]

vi har følgende rasjonale funksjon:

f(x) = (x^2 + 5x +6) / (x + 3)

Nullpunktetene må være de verdiene av x som gir teller = 0. Det vil si enten x = (-2) eller x = (-3).
Men x = (-3) gir null i nevner, derfor må nullpunktet være x = (-2).

Bruddpunkt, finnes det her? Jeg ser at vi får null i nevner ved å sette x = (-3). Men x = (-3) vil jo gi null i teller, og dermed får vi ingen vertikal asymptote.

Men så oppdager jeg at telleren i denne rasjonale funksjonen kan faktoriseres til (x+2) (x+3). Dermed kan vi egentlig
forkorte vekk hele nevneren? Og da finnes det ikke noe bruddpunkt i denne funksjonen - den blir en rett linje

f(x) = x + 2

Riktig observert. Funksjonen har ingen asymptote, ettersom dens graf vil være lik den rette linja $y=x+2$ for alle $x\neq -3$.

Usikker på om jeg har forstått dette full ut. Er det noen annen måte jeg kunne ha sett med en gang at vi ikke får et bruddpunkt i denne rasj. funksjon?
Det er så fort gjort å tenke at x = (-3) gir null i nevner, og at det dermed må være bruddpunkt. Er det slik at bruddpunkt ikke finnes dersom x-verdien som gir null i nevner også gir null i teller?

Nei, dette er ikke helt riktig. For eksempel får funksjonen $g(x) = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+3)^2}$ null i både teller og nevner når $x=-3$, men denne funksjonen har en vertikal asymptote i $x=-3$. Grunnen til at din funksjon $f$ ikke har noen asymptote i $x=-3$ er fordi grenseverdien $\lim_{x\rightarrow -3}f(x)$ eksisterer.

[Straamann]

den é go

[LektorNilsen]

Skjermbilde 2018-02-07 kl. 16.10.29.png (38.17 kiB) Vist 1160 ganger

den é go

Om vi ønsker å vise tydelig at funksjonen ikke er definert for alle verdier av x, i dette tilfellet x=-3, kan vi tegne grafen slik: