Derivasjon - skjønner ikke konseptet
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Det er flere måter å løse problemet på, og det var du som bemerket at stigningstallet til $f'$ var $-2$, noe som betyr at $f''=2a=-2$, derfor er $a=-1$. Det var derfor jeg tok med $f''$ i svaret mitt. Videre er $f'(0)=3$ ifølge grafen gitt i oppgaven. Derfor får vi $f'(0)=b=3$, så funksjonen vår blir $f(x)=-x^2+3x+c$. Siden et av nullpunktene er x=1, må $f(1)=0$, noe som bestemmer verdien av $c$.
Jeg har visst latt meg lure av en tvetydighet?Gustav skrev:Ikke helt enig i det du sier her. For en funksjon $f:A\to B$ er det ofte vanlig å bruke begrepet punkt om elementer $x$ i domenet A, mens elementer i kodomenet B ofte kalles verdier. Det er dermed riktig å si at verdien til $f$ evaluert i punktet $x$ er $f(x)$. På samme måte snakker man f.eks. om et toppunkt til en funksjon som et punkt $a$ i domenet, slik at $f(a)$ er større enn alle andre funksjonsverdier i punkter i en omegn om $a$. Se f.eks https://www.matematikk.org/artikkel.html?tid=155252 for flere eksempler på notasjonen.Aleks855 skrev:Et "punkt" består av to komponenter i dette tilfellet, en $x$-komponent, og en $y$-komponent (aka. $f(x)$). Så punktet er $(2, \frac12)$.F.eks vil vekstfarten til f i punktet x = 2 være [...]
Som sagt, dette er småpirk i det store bildet. Og det du sier kan enkelt tolkes rett av sensor, men det kan være lurt å ikke la det være opp til sensor å tolke det. Bedre å være nøyaktig.
Det er noe annet å snakke om punkter $(x,f(x))$ på grafen til $f$.matematikk.org skrev:Et toppunkt for en funksjon f(x) er et punkt a i definisjonsmengden der funksjonsverdien f(a) er større enn f(x) i alle nabopunkter, altså alle punkter i et intervall rundt a.
Jeg har alltid hatt den oppfatning at et "punkt" er en ordnet n-tuppel som representerer et "sted" i $\mathbb R^n$.
Nå skal det jo sies at et slikt punkt på en 2D graf KAN representeres entydig av kun x-verdien, gitt at grafen tilhører en funksjon (som per definisjon består vertikallinjetesten), men jeg har alltid vegret meg for å si ting som "punktet $x=2 $", da $x=2$ jo skal være ei vertikal linje.
Jeg gikk også på en terminologi-smell for litt siden, da jeg lærte at et punkt $(a, b)$ og vektoren $[a, b]$ ikke er å tolke som to forskjellige objekter. Det gir på en måte mening, men det motstrider den oppfatningen jeg sitter igjen med fra VGS, der punkter og vektorer undervises for å være to forskjellige, men relaterte ting.
Hva som er et punkt kommer jo an på hvilket rom man anser som den universale mengden: $x=2$ er et punkt i $\mathbb{R}$, men en linje i $\mathbb{R}^2$ et plan i $\mathbb{R}^3$ etc. Hvis vi har en funksjon $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, gitt ved $f(x,y)=x^2+y^2$, så er $(x,y)=(0,0)$ et bunnpunkt for funksjonen, og samtidig et element i domenet. Punktet $(0,0,0)\in \mathbb{R}^3$ er det tilhørende punktet på grafen til $f$. Man sier ikke at $(0,0,0)$ er et bunnpunkt for funksjonen.
Gustav skrev:Det er flere måter å løse problemet på, og det var du som bemerket at stigningstallet til $f'$ var $-2$, noe som betyr at $f''=2a=-2$, derfor er $a=-1$. Det var derfor jeg tok med $f''$ i svaret mitt. Videre er $f'(0)=3$ ifølge grafen gitt i oppgaven. Derfor får vi $f'(0)=b=3$, så funksjonen vår blir $f(x)=-x^2+3x+c$. Siden et av nullpunktene er x=1, må $f(1)=0$, noe som bestemmer verdien av $c$.
Ok. Det er flere måter å angripe det på ja. Jeg skjønner at når den f ' er en rett linje, så må nødvendigvis f være et andregradspolynom. Men jeg skjønte ikke hvorfor den dobbelt-deriverte gir oss verdien på andregradsleddet. Kan du gjøre et forsøk til på å forklare hvordan dette henger sammen:
Resten er greit. f ' skjærer y-aksen i 3. Dermed må førstegradsleddet i funksjonen vår være 3x. Siden et nullpunkt er gitt ved f (1) = 0, må c være -2.stigningstallet til $f'$ var $-2$, noe som betyr at $f''=2a=-2$, derfor er $a=-1$. Det var derfor jeg tok med $f''$ i svaret mitt.
Når jeg tegner opp funksjonen -x^2 +3x-2, blir den deriverte av dette den rette linja -2x +3.
La $f(x) = ax^2 + bx + c$Men jeg skjønte ikke hvorfor den dobbelt-deriverte gir oss verdien på andregradsleddet.
Ved første derivasjon forsvinner konstantleddet $c$ så $f'(x) = 2ax + b$. Nå er det $b$ som er "konstantleddet".
Ved andre derivasjon forsvinner $b$. $f''(x) = 2a$.
Nå ser vi at den eneste informasjonen vi har igjen om konstantene i den originale funksjonen, er $a$, som tilhørte andregradsleddet. Førstegradsleddet og konstantleddet forsvant helt etter to derivasjoner.
Gitt at den andrederiverte gir stigningstallet til den førstederiverte, og at du kom frem til at dette stigningstallet var $-2$, så får vi $2a = -2 \Rightarrow a = -1$.
Da er en del av puslespillet på plass: $a = (-1) \ \Rightarrow \ f(x) = -x^2 + bx + c$.
