Vektorer. Skalarproduktet

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Conanparker
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 17/05-2012 20:27

En trekant ABC har hjørner med disse koordinatene.
A (-3,-2)
B (1,3)
C (-1,2)
Punktet D ligger på linja gjennom A og C. Setter D (x,y).
Finn ved regning koordinatene til punktet D når BD vinkelrett på AD.

(alle linjestykker under skal ha vektorsymbol, eks AD (vektor)).
AC parallell med AD, dvs det finnes et tall t slik at AD= t*AC
BD*AD= 0 (siden cos 90= 0).
Da er BD* tAC= 0.
Tenkte videre at siden BD vinkelrett på AD, så er også AC vinkelrett på BD.
AC*BD= 0 gir 2x+ 4y-14= 0.

Dette gir desverre for mange ukjente og for få likninger.
Noen som kan hjelpe meg videre?
Svaret skal være D(-1/5, 8/15).
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Conanparker skrev:En trekant ABC har hjørner med disse koordinatene.
A (-3,-2)
B (1,3)
C (-1,2)
Punktet D ligger på linja gjennom A og C. Setter D (x,y).
Finn ved regning koordinatene til punktet D når BD vinkelrett på AD.

(alle linjestykker under skal ha vektorsymbol, eks AD (vektor)).
AC parallell med AD, dvs det finnes et tall t slik at AD= t*AC
BD*AD= 0 (siden cos 90= 0).
Da er BD* tAC= 0.
Tenkte videre at siden BD vinkelrett på AD, så er også AC vinkelrett på BD.
AC*BD= 0 gir 2x+ 4y-14= 0.

Dette gir desverre for mange ukjente og for få likninger.
Noen som kan hjelpe meg videre?
Svaret skal være D(-1/5, 8/15).
Det kan være lurt å tegne en hjelpefigur

Bilde

Vi har at

[tex]A(-3,-2)[/tex]
[tex]B(1,3)[/tex]
[tex]C(-1,2)[/tex]
[tex]D(x,y)[/tex]

Kravene du trenger å tilfredsstille er egentlig ikke så vanskelige. Du vet at punktet D ligger på linjen dannet av punktene A og C. Det vil i praksis si at du kan danne vektoren AD og forlengelsen fra AC til D som CD, og at skalarproduktet av disse vektorene og BD vektor må være null. Da får du et likningssystem.


Fra dette oppnår vi vektorene [tex]\vec{AD} = (x+3, y+2)[/tex] og [tex]\vec{BD} = (x-1,y-3)[/tex] og [tex]\vec{CD} = (x+1, y-2)[/tex]

[tex]\vec{AD} \cdot \vec{BD}=0[/tex]

[tex]\vec{CD} \cdot \vec{BD}=0[/tex]

Løser du likningssystemet får du at [tex]x=1, y=3[/tex] og [tex]x=-\frac{1}{5}, y=\frac{18}{5}[/tex]. Det første punktet ligger ikke på linjen mellom A og C , og dermed må det andre punktet være løsningen
Conanparker
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 17/05-2012 20:27

Flott.
Det ga et forholdsvis krevende likningssett med ledd som har x^2, y^2, x, y og konstantledd i seg.
Brukte addisjonsmetoden til å eliminere x^2 og y^2- leddene og sto igjen med
5y^2- 33y+ 54= 0
Det ga y= 3 eller y= 18/5 (3.6).

Takk for forslag til løsning.
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Conanparker skrev:Flott.
Det ga et forholdsvis krevende likningssett med ledd som har x^2, y^2, x, y og konstantledd i seg.
Brukte addisjonsmetoden til å eliminere x^2 og y^2- leddene og sto igjen med
5y^2- 33y+ 54= 0
Det ga y= 3 eller y= 18/5 (3.6).

Takk for forslag til løsning.
Kanskje et litt krevende likningssett når du sier det.

Når du har y er det jo forøvrig lett å finne x når du har en linje på formen [tex]y=ax+b[/tex] I farta er vel [tex]ax+b=2x+4[/tex], så smækker du bare inn 18/5 og får [tex]\frac{18}{5}=2x+4 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}[/tex]
Svar