matematikk.net

En enkel oppgave som trolig kan kalles for optimering:

Summen av to tall er 18.
Hvordan må tallene velges for at produktet skal bli størst mulig?
Hvor stort er produktet da?

Dette er lett å se intuitivt hva svaret må være. Men hvordan vise det ved regning?

[tex]x+y = 18[/tex]
[tex]f(x,y) = xy \ \Rightarrow \ f(x) = x(18-x) = 18x-x^2[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 0 \ \Rightarrow \ 18-2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 9 \ \Rightarrow \ y = 9[/tex]

zell skrev:[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 0 \ \Rightarrow \ 18-2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 9 \ \Rightarrow \ y = 9[/tex]

Litt off-topic, men er det hipp-som-happ om man bruker $\mathrm d$ eller $\partial$ her?

zell skrev:[tex]x+y = 18[/tex]
[tex]f(x,y) = xy \ \Rightarrow \ f(x) = x(18-x) = 18x-x^2[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 0 \ \Rightarrow \ 18-2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 9 \ \Rightarrow \ y = 9[/tex]

Takk. Men jeg henger ikke med på hva dette betyr gjennom hele argumentet.
Hvordan kom du frem til 18x - x^2 f.eks. Og videre, setter du den deriverte lik null der? (finne toppunktet)

Aleks855 skrev:

zell skrev:[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 0 \ \Rightarrow \ 18-2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 9 \ \Rightarrow \ y = 9[/tex]

Litt off-topic, men er det hipp-som-happ om man bruker $\mathrm d$ eller $\partial$ her?

Jeg vil si at det ikke er det, og at man bør bruke [tex]d[/tex] fordi den flervariable funksjonen er omskrevet til en funksjon av én variabel.
Jeg har sett liknende tilfeller før. I noen oppgaver i flerdimensjonalanalyse blir man for eksempel bedt om å finne maksimum eller minimum for en flervariabel funksjon gitt en eller flere bibetingelser. Da legges det som regel opp til å bruke Langrange multiplikatormetode, men så har jeg sett at vedkommende har løst oppgaven enda enklere ved å omskrive til en funksjon med kun x, og da har han også brukt vanlig [tex]d[/tex] i derivasjonen.

Gjest skrev:

Aleks855 skrev:

zell skrev:[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 0 \ \Rightarrow \ 18-2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 9 \ \Rightarrow \ y = 9[/tex]

Litt off-topic, men er det hipp-som-happ om man bruker $\mathrm d$ eller $\partial$ her?

Jeg vil si at det ikke er det, og at man bør bruke [tex]d[/tex] fordi den flervariable funksjonen er omskrevet til en funksjon av én variabel.
Jeg har sett liknende tilfeller før. I noen oppgaver i flerdimensjonalanalyse blir man for eksempel bedt om å finne maksimum eller minimum for en flervariabel funksjon gitt en eller flere bibetingelser. Da legges det som regel opp til å bruke Langrange multiplikatormetode, men så har jeg sett at vedkommende har løst oppgaven enda enklere ved å omskrive til en funksjon med kun x, og da har han også brukt vanlig [tex]d[/tex] i derivasjonen.

Hmm, nå er ikke jeg en matematiker, men jeg bruker alltid [tex]\mathrm{d}[/tex] hvis det er snakk om totalderiverte, mens jeg bruker [tex]\partial[/tex] for (naturlig nok) partiellderiverte. Med totalderivert mener jeg at:

[tex]\frac{\mathrm{d}f(x,y)}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}[/tex]

Dette vil naturlig nok produsere samme resultat som ovenfor.

Straamann skrev:

zell skrev:[tex]x+y = 18[/tex]
[tex]f(x,y) = xy \ \Rightarrow \ f(x) = x(18-x) = 18x-x^2[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 0 \ \Rightarrow \ 18-2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 9 \ \Rightarrow \ y = 9[/tex]

Takk. Men jeg henger ikke med på hva dette betyr gjennom hele argumentet.
Hvordan kom du frem til 18x - x^2 f.eks. Og videre, setter du den deriverte lik null der? (finne toppunktet)

Jeg kom fram til [tex]18x-x^2[/tex] ved å sette inn for [tex]y[/tex] i funksjonen [tex]f(x,y) = f(x,18-x) = x\cdot (18-x) = f(x)[/tex]. Videre fant jeg toppunktet ved å sette den deriverte lik null.

zell skrev:

Straamann skrev:

zell skrev:[tex]x+y = 18[/tex]
[tex]f(x,y) = xy \ \Rightarrow \ f(x) = x(18-x) = 18x-x^2[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 0 \ \Rightarrow \ 18-2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 9 \ \Rightarrow \ y = 9[/tex]

Takk. Men jeg henger ikke med på hva dette betyr gjennom hele argumentet.
Hvordan kom du frem til 18x - x^2 f.eks. Og videre, setter du den deriverte lik null der? (finne toppunktet)

Jeg kom fram til [tex]18x-x^2[/tex] ved å sette inn for [tex]y[/tex] i funksjonen [tex]f(x,y) = f(x,18-x) = x\cdot (18-x) = f(x)[/tex]. Videre fant jeg toppunktet ved å sette den deriverte lik null.

Ok. Jeg pleier å bruke f ' (x) når jeg skal skrive derivert av. Men du bruker df/dx her.. (deriverte av både f og x?) Jeg kjenner ikke til den måten å notere på, sikkert derfor jeg ble litt forvirret. Jeg pleier å få ut den deriverte av f(x), ikke x.

Du har misforstått.

$\frac{df}{dx} = f'(x)$

og betyr bare at du deriverer $f$ med hensyn på variabelen $x$.

De er forskjellige måter å skrive akkurat det samme.

Straamann skrev:Ok. Jeg pleier å bruke f ' (x) når jeg skal skrive derivert av. Men du bruker df/dx her.. (deriverte av både f og x?) Jeg kjenner ikke til den måten å notere på, sikkert derfor jeg ble litt forvirret. Jeg pleier å få ut den deriverte av f(x), ikke x.

Notasjonen $\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}$ leses "den deriverte av $f$ med hensyn på $x$". Altså det samme som du mener med $f'(x)$.

Aleks855 skrev:

Straamann skrev:Ok. Jeg pleier å bruke f ' (x) når jeg skal skrive derivert av. Men du bruker df/dx her.. (deriverte av både f og x?) Jeg kjenner ikke til den måten å notere på, sikkert derfor jeg ble litt forvirret. Jeg pleier å få ut den deriverte av f(x), ikke x.

Notasjonen $\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}$ leses "den deriverte av $f$ med hensyn på $x$". Altså det samme som du mener med $f'(x)$.

Greit å få oppklart!

Jeg foretrekker denne notasjonen, kjent som Leibniz' notasjon. https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz%27s_notation

Den kan spare litt skriving, spesielt når man skal bruke kjerneregelen på særdeles sammensatte funksjoner.