Sår helt fast på denne! Kan noen hjelpe meg?
Et rektangel har omkretsen 36 cm og sider x og y cm. Rektangelet skal rulles til en sylinder med høyde y.
Bestem x og y slik at sylinderen får størst volum.
Optimering
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Jeg regner her i meter, istedenfor cm.
Opplysningene gir at $2x+2y=0.36$. Videre er formelen for volumet av et sylinder $$V_{sylinder} = \pi r^2 h$$ Siden sylinderen har høyde $y$ kan du sette inn $y=0.18-x$ i uttrykket og få $V_{sylinder}=\pi r^2 (0.18-x)$. Når du ruller sammen blir $x$-lengden i rektangelet lik omkretsen i sirkelen, altså $2\pi r$, med andre ord er $r^2 = \frac{1}{4 \pi ^2} x^2$, som innsatt i volumformelen gir en funksjon for volumet av $x$ $$V(x) = \pi \frac{1}{4 \pi^2}x^2(0.18-x) = \frac{1}{4\pi} (0.18x^2 - x^3)$$
Derivasjon av $V(x)$ gir nå $$V'(x)=\frac{1}{4\pi} (0.36x-3x^2)$$ Toppunktet finner vi der $V'(x)=0$ $$0.36x-3x^2=0 \implies x(0.36-3x) = 0 \implies x=0 \enspace \wedge \enspace x=0.12$$
Siden en av sidene ikke kan ha lengde lik $0$, forkaster vi denne løsningen, og da er $x=0.12m \implies y=0.18m-0.12m=0.6m$
Ga fasiten samme løsning?
Edit: rettet opp i noe slurv avslutnigsvis.
Opplysningene gir at $2x+2y=0.36$. Videre er formelen for volumet av et sylinder $$V_{sylinder} = \pi r^2 h$$ Siden sylinderen har høyde $y$ kan du sette inn $y=0.18-x$ i uttrykket og få $V_{sylinder}=\pi r^2 (0.18-x)$. Når du ruller sammen blir $x$-lengden i rektangelet lik omkretsen i sirkelen, altså $2\pi r$, med andre ord er $r^2 = \frac{1}{4 \pi ^2} x^2$, som innsatt i volumformelen gir en funksjon for volumet av $x$ $$V(x) = \pi \frac{1}{4 \pi^2}x^2(0.18-x) = \frac{1}{4\pi} (0.18x^2 - x^3)$$
Derivasjon av $V(x)$ gir nå $$V'(x)=\frac{1}{4\pi} (0.36x-3x^2)$$ Toppunktet finner vi der $V'(x)=0$ $$0.36x-3x^2=0 \implies x(0.36-3x) = 0 \implies x=0 \enspace \wedge \enspace x=0.12$$
Siden en av sidene ikke kan ha lengde lik $0$, forkaster vi denne løsningen, og da er $x=0.12m \implies y=0.18m-0.12m=0.6m$
Ga fasiten samme løsning?
Edit: rettet opp i noe slurv avslutnigsvis.
Sist redigert av Markus den 28/02-2018 21:35, redigert 1 gang totalt.
Takk!
Oppgave 4
Dette er fortsettelsen til oppgaven fra tidligere, og svarene skal være de samme, men når det kommer en slik twist, står jeg litt fast!
Oppgave 5
Vet du hvordan jeg regner ut a)?
Jeg har fått det til digitalt, men vet ikke hvordan jeg skal gå fram for å regne det ut for hånd! Resten av oppgavene tror jeg at jeg får til
Oppgave 4
- Oppgave 4
- Uten navn.png (130.75 kiB) Vist 3217 ganger
Oppgave 5
- Oppgave 5
- Uten navn.jpg (177.4 kiB) Vist 3219 ganger
Jeg har fått det til digitalt, men vet ikke hvordan jeg skal gå fram for å regne det ut for hånd! Resten av oppgavene tror jeg at jeg får til
4b) Av figuren kommer det klart fram at radius i sylinderen nå er $x$, og høyden fortsatt $y (=0.18-x)$, altså er $$V(x)=\pi x^2(0.18-x) \implies V'(x)=\pi(0.36x-3x^2)$$ Som gir samme løsninger som istad når du setter $V'(x)=0$
4a) Oppgaven spør om $T(0)$ etter min tolkning. $$T(0)=-\frac{1}{400} \left (0^3 -115\cdot 0^2 + 3575 \cdot 0 - 15125 \right) = -\frac{1}{400} \cdot (-15125) = \frac{15125}{400}$$ Nå er det bare å bruke den helt vanlige divisjonsalgoritmen som du sikkert er kjent med fra før?
4a) Oppgaven spør om $T(0)$ etter min tolkning. $$T(0)=-\frac{1}{400} \left (0^3 -115\cdot 0^2 + 3575 \cdot 0 - 15125 \right) = -\frac{1}{400} \cdot (-15125) = \frac{15125}{400}$$ Nå er det bare å bruke den helt vanlige divisjonsalgoritmen som du sikkert er kjent med fra før?
Okei skjønner, takk!Markus skrev:4b) Av figuren kommer det klart fram at radius i sylinderen nå er $x$, og høyden fortsatt $y (=0.18-x)$, altså er $$V(x)=\pi x^2(0.18-x) \implies V'(x)=\pi(0.36x-3x^2)$$ Som gir samme løsninger som istad når du setter $V'(x)=0$
Nei det har vi ikke lært om enda! Men svare skal vær 38 grader, så [tex]\frac{15125}{400}[/tex] vil vell være riktig avslutning?Markus skrev:4a) Oppgaven spør om $T(0)$ etter min tolkning. $$T(0)=-\frac{1}{400} \left (0^3 -115\cdot 0^2 + 3575 \cdot 0 - 15125 \right) = -\frac{1}{400} \cdot (-15125) = \frac{15125}{400}$$ Nå er det bare å bruke den helt vanlige divisjonsalgoritmen som du sikkert er kjent med fra før?
Og når det kommer til [tex]\frac{1}{400}[/tex] i en slik likning, når man deriverer, vet du hva regelen er?
Divisjonsalgoritmen
Når man deriverer med en hvilken som helst konstant $a$ (som for eksempel kan være $\frac{1}{400}$ kan du sette konstanten utenfor, altså gitt en funksjon $f$, er $(af)' = af'$
Når man deriverer med en hvilken som helst konstant $a$ (som for eksempel kan være $\frac{1}{400}$ kan du sette konstanten utenfor, altså gitt en funksjon $f$, er $(af)' = af'$
Det er jo ikke feil, det er jo like rett som det andre svaret. I akkurat dette eksempelet, særlig hvis du har tilgang til hjelpemidler, ville jeg heller gitt svaret som desimaltall. Når noen spør deg om hvor varmt det er ute så sier du gjerne at det er 38 grader istedenfor $\frac{15200}{400}$ gradergodteri97 skrev:Så det blir feil å ta [tex]\frac{15125}{400}[/tex] eller vil det være godkjent uten divisjonsalgoritmen?
Okei skjønner, takk!
Jaja selvfølgelig! Det jeg mente var om jeg kunne gå rett fra $\frac{15125}{400}$ til svaret 38, eller om jeg måtte gjennom divisjonsalgoritmen for å få 38, om hva som var matematisk riktig eller om begge går bra å brukeMarkus skrev:Det er jo ikke feil, det er jo like rett som det andre svaret. I akkurat dette eksempelet, særlig hvis du har tilgang til hjelpemidler, ville jeg heller gitt svaret som desimaltall. Når noen spør deg om hvor varmt det er ute så sier du gjerne at det er 38 grader istedenfor $\frac{15200}{400}$ gradergodteri97 skrev:Så det blir feil å ta [tex]\frac{15125}{400}[/tex] eller vil det være godkjent uten divisjonsalgoritmen?
Okei skjønner, takk!
