Derivasjonsoppgave

[Ukulele]

Heisann.
Sitter og stusser på følgende derivasjonsoppgave:
[tex]f(x)=(X^2-1)^3\sqrt{X}[/tex]
Har fått
[tex]f'(X)=\frac{12X(X^2-1)^2+(X^2-1)^3}{2\sqrt{X}}[/tex]

Iht. Fasit så skal svaret være:
[tex]f'(X)=\frac{(13X^2-1)(X^2-1)^2}{2\sqrt{X}}[/tex]

Kan noen hjelpe meg her?

[Markus]

Produktregelen for derivasjon sier at gitt to funksjoner $u(x)$ og $v(x)$, slik at $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ gjelder $$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$$ I denne oppgaven er $u(x)=(x^2-1)^3$ og $v(x)=\sqrt{x}$. $u(x)$ kan deriveres ved kjerneregelen, altså er $u'(x)=3(x^2-1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2-1)^2$, imens $v(x)$ kan deriveres ved å bruke potensregelen, vi får $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Ved å bruke produktregelen får vi nå at $$f'(x)=6x(x^2-1)^2 \cdot \sqrt{x}+ \frac{(x^2-1)^3}{2\sqrt{x}} = (x^2-1)^2 \left(6x^{\frac32} + \frac{x^2-1}{2\sqrt{x}} \right)= (x^2-1)^2 \left (\frac{6x^{\frac32} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x^2-1}{2\sqrt{x}} \right) = (x^2-1)^2 \left (\frac{12x^2+x^2-1}{2\sqrt{x}} \right) = \frac{(x^2-1)^2(13x^2-1)}{2\sqrt{x}}$$