utled den karakteristiske likningen for differensiallikningen ay''+by'+cy=0
Hvordan gjør jeg det videre fra abc-formelen?
utlede difflikning
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Vet ikke om dette er det du spør om?mattenøtta skrev:utled den karakteristiske likningen for differensiallikningen ay''+by'+cy=0
Hvordan gjør jeg det videre fra abc-formelen?
[tex]ay''+by'+cy=0[/tex]
La [tex]y''=x^2, y'=x, y=1[/tex]
[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]
For andre ordens homogene diff. likninger har vi at [tex]y(x)=Ce^{r_1x}+De^{r_2x} \therefore y(x)= Ce^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x}+De^{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x}[/tex]
-
Fysikkmann97
- Lagrange
- Innlegg: 1258
- Registrert: 23/04-2015 23:19
Anta at difflikningen har en løsning, $y = e^{rx}$. Da har vi at
$y' = re^{rx}\\
y'' = r^2e^{rx}$
Vi får da ved innsetting i opprinnelig likning
$ay'' + by' + c = 0\\
ar^2e^{rx} + bre^{rx} +ce^{rx} = 0$
Her ser vi at $e^{rx} > 0$ for alle x, og faktoriserer den ut.
$e^{rx}(ar^2 + br + c) = 0$
Vi får da at løsningene er gitt ved abc-formelen
$r_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$y' = re^{rx}\\
y'' = r^2e^{rx}$
Vi får da ved innsetting i opprinnelig likning
$ay'' + by' + c = 0\\
ar^2e^{rx} + bre^{rx} +ce^{rx} = 0$
Her ser vi at $e^{rx} > 0$ for alle x, og faktoriserer den ut.
$e^{rx}(ar^2 + br + c) = 0$
Vi får da at løsningene er gitt ved abc-formelen
$r_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$