matematikk.net

Jeg skal sette inn implikasjons-pil eller ekvivalens-tegn mellom følgende utsagn:

P: ac= bc når c ikke er lik 0

Q: a = b

Er sikker på at P impliserer Q. Men går det andre veien også, eller i tilfelle hvorfor ikke?

Straamann skrev:Jeg skal sette inn implikasjons-pil eller ekvivalens-tegn mellom følgende utsagn:

P: ac= bc når c ikke er lik 0

Q: a = b

Er sikker på at P impliserer Q. Men går det andre veien også, eller i tilfelle hvorfor ikke?

$P \implies Q$: Dersom $ac = bc$, hvor $c\neq 0$, kan vi dividere med $c$ og få at $a=b$.

$Q \implies P$: Dersom $a=b$ kan vi multiplisere begge sider av likheten med $c\neq 0$ og få at $ac=bc$.

DennisChristensen skrev:

Straamann skrev:Jeg skal sette inn implikasjons-pil eller ekvivalens-tegn mellom følgende utsagn:

P: ac= bc når c ikke er lik 0

Q: a = b

Er sikker på at P impliserer Q. Men går det andre veien også, eller i tilfelle hvorfor ikke?

$P \implies Q$: Dersom $ac = bc$, hvor $c\neq 0$, kan vi dividere med $c$ og få at $a=b$.

$Q \implies P$: Dersom $a=b$ kan vi multiplisere begge sider av likheten med $c\neq 0$ og få at $ac=bc$.

Ja slik tenkte jeg også, men fasit hevder de ikke er ekvivalente. Legger ved oppgave en gang til så du kan sjekke om du endrer mening :

Straamann skrev:

DennisChristensen skrev:

Straamann skrev:Jeg skal sette inn implikasjons-pil eller ekvivalens-tegn mellom følgende utsagn:

P: ac= bc når c ikke er lik 0

Q: a = b

Er sikker på at P impliserer Q. Men går det andre veien også, eller i tilfelle hvorfor ikke?

$P \implies Q$: Dersom $ac = bc$, hvor $c\neq 0$, kan vi dividere med $c$ og få at $a=b$.

$Q \implies P$: Dersom $a=b$ kan vi multiplisere begge sider av likheten med $c\neq 0$ og få at $ac=bc$.

Ja slik tenkte jeg også, men fasit hevder de ikke er ekvivalente. Legger ved oppgave en gang til så du kan sjekke om du endrer mening :

Ja, oppgaven du har vedlagt er forskjellig fra hvordan du originalt formulerte den.
Forskjellen ligger i din formulering av $P: ac= bc$ når $c$ ikke er lik $0$.

Dette er ikke en helt riktig formulering av $P$ fra oppgaven, som sier: $P: ac=bc$ og $c\neq 0$. Med denne formuleringen ser vi at $Q \nRightarrow P$, ettersom $$a=b \nRightarrow a\cdot 0 = b\cdot 0 \wedge 0\neq 0.$$

Dersom vi ønsker to ekvivalente utsagn, må vi endre $P$ til å korrespondere med din første formulering: Hvis vi lar $$P': c\neq 0 \implies ac = bc$$ og $$Q': a=b,$$ kan du vise at $P'\iff Q'$ som en øvelse.

Ok, jeg tolket det slik at c ikke kunne være lik 0. Men c kan altså være et hvilket som helst tall inkl. 0, og dermed er ikke Q = P?

Straamann skrev:Ok, jeg tolket det slik at c ikke kunne være lik 0. Men c kan altså være et hvilket som helst tall inkl. 0, og dermed er ikke Q = P?

Ja, lar vi $a= b \in \mathbb{R}$ og $c=0$ ser vi at $Q$ er sann, mens $P$ er usann (nettopp fordi $c=0$). Altså ser vi at $Q \not\Rightarrow P$.