Førsteordens differensiallikning R2

[LisaGikkTilHøgskolen]

Hei! Jeg sliter med følgende differensiallikning.

Oppgave 7.122
Løs differensiallikningene uten digitale hjelpemidler

b) [tex]xy'-y=x^2[/tex]

Jeg har foreløpig begynt med å multiplisere uttrykket med [tex]\frac{1}{x}[/tex] for å få det på riktig form.
Har da uttrykket [tex]y'-\frac{1}{x}*y=x[/tex]

Herfra vet jeg at jeg må gange med en integrerende faktor. Det jeg ikke forstår i denne oppgaven er at denne skal være [tex]\frac{1}{x}[/tex]. Jeg får den til å bli: e opphøy i [tex]\int(-(\frac{1}{x}))[/tex] som da gir -x som integrerende faktor, og dermed feil svar. Noen som kan forklare hvorfor jeg tar feil?

[Aleks855]

Gitt $y' - \frac yx = x$ (etter å ha delt på $x$).

$\mu(x) = e^{\int -\frac1x\mathrm dx} = \frac1x$

Ganger med $\mu(x)$ på begge sider.

Vi får da $\frac{y'}{x} - \color{red}{\frac{1}{x^2}}y = 1$

Gitt at $\frac{d}{dx}\frac1x = \color{red}{-\frac1{x^2}}$ kan vi erstatte dette.

Da har vi $\frac{y'}x + \left[\frac{d}{dx}\frac1x\right]y = 1$.

Hvis venstre side minner om produktregelen, så ser du kanskje veien videre.

[LisaGikkTilHøgskolen]

Takk for svar!

Henger ikke helt med på andre linje. Blir ikke [tex]e^{\int -\frac{1}{x}}=e^{-ln(x)}=-x[/tex]?
Du gjør det helt riktig etter det jeg kan se utifra fasiten, men jeg får det ikke helt til å rime.

Forrige oppgave jeg løste var [tex]xy'+y=x^2[/tex]. Her ble den integrerende faktoren [tex]e^{ln(x)}=x[/tex], og resten av oppgaven gikk helt greit.
Hadde blitt veldig glad om noen kunne klarnet opp hodet mitt litt her

[Aleks855]

Takk for svar!

Henger ikke helt med på andre linje. Blir ikke [tex]e^{\int -\frac{1}{x}}=e^{-ln(x)}=-x[/tex]?
Du gjør det helt riktig etter det jeg kan se utifra fasiten, men jeg får det ikke helt til å rime.

Virker som du har det meste på gli, men husk denne lille regelen for potenser: $a^{-b} = \frac1{a^b}$

$e^{-\ln(x)} = \frac{1}{e^{\ln(x)}} = \frac 1x$

[LisaGikkTilHøgskolen]

Aaaah selvfølgelig! Takk så mye!