matematikk.net

Oppgave 8.191

b) Vis ved induksjon at for alle naturlige tall n er

[tex]\frac{1}{1*3}+\frac{1}{3*5}+\frac{1}{5*7}+...+\frac{1}{{2n-1}*{2n+1}}=\frac{n}{2n+1}[/tex]

Her har jeg først vist at formelen stemmer for n=1.
Antar videre at formelen stemmer for n=k
[tex]\frac{1}{1*3}+\frac{1}{3*5}+\frac{1}{5*7}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}[/tex]

Viser deretter at formelen er riktig for n=k+1
VS=
[tex]\frac{1}{1*3}+\frac{1}{3*5}+\frac{1}{5*7}+...+\frac{1}{{(2(k+1)-1)}*{(2(k+1)+1)}}[/tex]
[tex]=\frac{1}{1*3}+\frac{1}{3*5}+\frac{1}{5*7}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}[/tex]

HS=
[tex]\frac{k+1}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}[/tex]

Jeg sliter her med å fullføre beviset. Hva må jeg gjøre for å bli ferdig?

H.S. = k/(2k + 1) + 1/(2k + 1)(2k + 3)

Gjer brøkane samnemnde (utvid første brøken med (2k + 3) ) , sett på felles brøkstrek, trekk saman og forkort [ (2k + 1) er
faktor i både teljar og nemnar i sumbrøken]

Hvordan beviste du at det stemmer for n=1?

Basistilfelle n = 1:

V.S = 1/(1 * 3) = 1/3

H.S. = 1/(2*1 + 1) = 1/3

V.S. = H.S. impliserer påstanden er sann for n = 1