R2 Differensiallikning av første orden

[Sti]

God kveld. Eg prøver å løyse ein oppgåve. Den er følgende:
Ein betre modell for fritt fall er at vi set luftmotstanden L = p * V^2, Der p er ein konstant. Finn V(t) når V(0)=0.
Her setter vi opp differensiallikninga: my'=mg-py^2. Hadde våre fint om eg kunne fått ein veldig nøye svar, då eg har lyst til å forstå kva eg gjer feil eller ikkje "ser".

Takker på forrhand.

[reneask]

God kveld. Eg prøver å løyse ein oppgåve. Den er følgende:
Ein betre modell for fritt fall er at vi set luftmotstanden L = p * V^2, Der p er ein konstant. Finn V(t) når V(0)=0.
Her setter vi opp differensiallikninga: my'=mg-py^2. Hadde våre fint om eg kunne fått ein veldig nøye svar, då eg har lyst til å forstå kva eg gjer feil eller ikkje "ser".

Takker på forrhand.

La oss kalle farten for $v$ og dens deriverte for $\dot v$, (dot-notasjonen betyr bare at størrelsen er en tidsderivert). Da har vi differensiallikningen

$$
m\dot v = mg -pv^2 = -(pv^2 - mg)
$$

Så deler vi på leddet helt til høyre

$$
\frac{m\dot v}{pv^2-mg} = -1
$$

Så faktoriserer vi ut litt på venstre side av likningen og integrerer mhp tid.

$$
\frac{m}{p} \int \frac{\dot v}{v^2-(m/p)g} \ dt = -\int dt
$$

For å spare oss for trøblete notasjon, innfører vi en variabel for å få enklere notasjon når vi skal regne videre: $k = \sqrt{(m/p)g}$. Hvorfor jeg innfører denne blir straks klart.

Vi tar tar nevneren og faktoriserer den slik at vi kan løse den med delbrøkoppspaltning

$$
\frac{m}{p}\int \frac{\dot v}{\left(v+\sqrt{(m/p)g}\right) \left(v-\sqrt{(m/p)g}\right)} \ dt = -\int dt
$$

Nå setter vi inn k i stedet for det rotet i nevneren

$$
\frac{m}{p}\int \frac{\dot v}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)} \ dt = -\int dt
$$

Så bruker vi at $\dot v = \frac{dv}{dt}$

som gir

$$
\frac{m}{p}\int \frac{1}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)}\frac{dv}{dt} \ dt = -\int dt
$$

vi "stryker" dt (Selv om dette er infinitesimal størrelse og ikke nødvendigvis gir noen formell mening - vi kunne godt brukt substitusjonen $v(t) = v$ og brukt vanlige regler for substitisjon med tanke på integrasjon og fått akkurat det samme.)

$$
\frac{m}{p}\int \frac{1}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)} \ dv = -\int dt
$$

Nå må vi delbrøkoppspalte (det finnes en enklere måte å løse denne likningen på så klart, men da må man ha kjennskap til hyperbolske funksjoner som ikke undervises i vgs) - uflaks for oss.

$$
\frac{1}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)} = \frac{A}{\left(v+k\right)} + \frac{B}{\left(v-k\right)}
$$

Vi må nå finne ut hva A og B er.

$$
1 = A\left(v-k\right) + B \left(v+k\right)
$$

La v = k, regn ut B, deretter sett inn v = -k og regn ut A. (sett det inn, jeg bare skriver opp resultatet av det vi sitter igjen med), da har vi

$$
B = \frac{1}{2k} \qquad \text{og} \qquad A = -\frac{1}{2k}
$$

Flott, da gjenstår det bare å løse integralene. La oss ta det på venstre siden av likheten først.

$$
\frac{m}{p}\int \frac{1}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)} \ dv = \frac{m}{p} \left( \int \frac{A}{\left(v+k\right)}dv + \int \frac{B}{\left(v-k\right)} dv\right) = \frac{m}{p} \left(A \ln |v+k| + B \ln |v-k|\right) + C
$$

Så var det å sette inn uttrykkene for A og B.

$$
\frac{m}{p} \left(A \ln |v+k| + B \ln |v-k|\right) = \frac{m}{p} \left( -\frac{1}{2k} \ln |v+k| + \frac{1}{2k} \ln |v-k|\right)
$$

Vi faktoriserer ut den felles faktoren og bruker regneregler for logaritmen til å forenkle uttrykket.

$$
\frac{m}{p} \left( -\frac{1}{2k} \ln |v+k| + \frac{1}{2k} \ln |v-k|\right) = \frac{m}{p} \frac{1}{2k}\ln \left(\frac{v-k}{v+k}\right)
$$

(Teknisk sett er det absoluttverdi der, men jeg finner ikke latex-kommandoen for det her akkurat nå. Det er ikke så viktig for det endelige resultatet uansett). Integralet på høyre side av difflikningen er trivielt. Vi får dermed

$$
\frac{m}{p} \frac{1}{2k}\ln \left(\frac{v-k}{v+k}\right) = -t + C
$$

Vi deler på $\frac{m}{p} \frac{1}{2k}$ på begge sider.


$$
\ln \left(\frac{v-k}{v+k}\right) = -\frac{2pk}{m}t + D
$$

der D blir en ny konstant som er C delt på uttrykket vi delte på begge sider.
Nå er vi nesten i mål, vi bruker eksponentialfunksjonen på begge sider av likningen og får

$$
\frac{v-k}{v+k} = e^{-\frac{2pk}{m}t + D} = Ae^{-\frac{2pk}{m}t}
$$

der A bare er en ny konstant som vi innfører for enklere notasjon. Ikke spesielt hyggelig dette uttrykket. Nå har vi bare litt algebraisk mikking og makking igjen.

$$
v-k = Ae^{-\frac{2pk}{m}t}(v+k)
$$

$$
v - Ae^{-\frac{2pk}{m}t}v = k + kAe^{-\frac{2pk}{m}t}
$$

$$
v\left(1-Ae^{-\frac{2pk}{m}t}\right) = k\left(1+Ae^{-\frac{2pk}{m}t}\right)
$$

som gir den generelle løsningen

$$
v(t) = \frac{k\left(1+Ae^{-\frac{2pk}{m}t}\right)}{1-Ae^{-\frac{2pk}{m}t}}
$$

Initialbetingelsen var v(0) = 0 som gir

$$
v(0) = \frac{k\left(1+Ae^{-\frac{2pk}{m}\cdot 0}\right)}{1-Ae^{-\frac{2pk}{m}\cdot 0}} = \frac{k\left(1+A\right)}{1-A} = 0
$$

Løs denne likningen mhp A og du får

$$
A = -1
$$

Dermed er den endelige løsningen på differensiallikningen (gitt at jeg ikke gjorde noen feil i farta)

$$
v(t) = \frac{k\left(1-e^{-\frac{2pk}{m}t}\right)}{1+e^{-\frac{2pk}{m}t}}
$$

Du må gjerne sette inn hva $k$ er, men det er like gyldig å bare oppgi hva den er ved siden av svaret for å få et penere uttrykk.

Jeg sammenlignet den analytiske løsning mot en numerisk simulering over de 10 første sekundene og grafene matcher, så svaret skal være korrekt.

[Sti]

Meget bra svar reneask. Det viste seg at eg kun var to steg unna svaret... Uansett så var din løysning på oppgåva ganske så elegant og lererik. Takker for godt svar reneask.