Sti skrev:God kveld. Eg prøver å løyse ein oppgåve. Den er følgende:
Ein betre modell for fritt fall er at vi set luftmotstanden L = p * V^2, Der p er ein konstant. Finn V(t) når V(0)=0.
Her setter vi opp differensiallikninga: my'=mg-py^2. Hadde våre fint om eg kunne fått ein veldig nøye svar, då eg har lyst til å forstå kva eg gjer feil eller ikkje "ser".
Takker på forrhand.
La oss kalle farten for $v$ og dens deriverte for $\dot v$, (dot-notasjonen betyr bare at størrelsen er en tidsderivert). Da har vi differensiallikningen
$$
m\dot v = mg -pv^2 = -(pv^2 - mg)
$$
Så deler vi på leddet helt til høyre
$$
\frac{m\dot v}{pv^2-mg} = -1
$$
Så faktoriserer vi ut litt på venstre side av likningen og integrerer mhp tid.
$$
\frac{m}{p} \int \frac{\dot v}{v^2-(m/p)g} \ dt = -\int dt
$$
For å spare oss for trøblete notasjon, innfører vi en variabel for å få enklere notasjon når vi skal regne videre: $k = \sqrt{(m/p)g}$. Hvorfor jeg innfører denne blir straks klart.
Vi tar tar nevneren og faktoriserer den slik at vi kan løse den med delbrøkoppspaltning
$$
\frac{m}{p}\int \frac{\dot v}{\left(v+\sqrt{(m/p)g}\right) \left(v-\sqrt{(m/p)g}\right)} \ dt = -\int dt
$$
Nå setter vi inn k i stedet for det rotet i nevneren
$$
\frac{m}{p}\int \frac{\dot v}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)} \ dt = -\int dt
$$
Så bruker vi at $\dot v = \frac{dv}{dt}$
som gir
$$
\frac{m}{p}\int \frac{1}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)}\frac{dv}{dt} \ dt = -\int dt
$$
vi "stryker" dt (Selv om dette er infinitesimal størrelse og ikke nødvendigvis gir noen formell mening - vi kunne godt brukt substitusjonen $v(t) = v$ og brukt vanlige regler for substitisjon med tanke på integrasjon og fått akkurat det samme.)
$$
\frac{m}{p}\int \frac{1}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)} \ dv = -\int dt
$$
Nå må vi delbrøkoppspalte (det finnes en enklere måte å løse denne likningen på så klart, men da må man ha kjennskap til hyperbolske funksjoner som ikke undervises i vgs) - uflaks for oss.
$$
\frac{1}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)} = \frac{A}{\left(v+k\right)} + \frac{B}{\left(v-k\right)}
$$
Vi må nå finne ut hva A og B er.
$$
1 = A\left(v-k\right) + B \left(v+k\right)
$$
La v = k, regn ut B, deretter sett inn v = -k og regn ut A. (sett det inn, jeg bare skriver opp resultatet av det vi sitter igjen med), da har vi
$$
B = \frac{1}{2k} \qquad \text{og} \qquad A = -\frac{1}{2k}
$$
Flott, da gjenstår det bare å løse integralene. La oss ta det på venstre siden av likheten først.
$$
\frac{m}{p}\int \frac{1}{\left(v+k\right) \left(v-k\right)} \ dv = \frac{m}{p} \left( \int \frac{A}{\left(v+k\right)}dv + \int \frac{B}{\left(v-k\right)} dv\right) = \frac{m}{p} \left(A \ln |v+k| + B \ln |v-k|\right) + C
$$
Så var det å sette inn uttrykkene for A og B.
$$
\frac{m}{p} \left(A \ln |v+k| + B \ln |v-k|\right) = \frac{m}{p} \left( -\frac{1}{2k} \ln |v+k| + \frac{1}{2k} \ln |v-k|\right)
$$
Vi faktoriserer ut den felles faktoren og bruker regneregler for logaritmen til å forenkle uttrykket.
$$
\frac{m}{p} \left( -\frac{1}{2k} \ln |v+k| + \frac{1}{2k} \ln |v-k|\right) = \frac{m}{p} \frac{1}{2k}\ln \left(\frac{v-k}{v+k}\right)
$$
(Teknisk sett er det absoluttverdi der, men jeg finner ikke latex-kommandoen for det her akkurat nå. Det er ikke så viktig for det endelige resultatet uansett). Integralet på høyre side av difflikningen er trivielt. Vi får dermed
$$
\frac{m}{p} \frac{1}{2k}\ln \left(\frac{v-k}{v+k}\right) = -t + C
$$
Vi deler på $\frac{m}{p} \frac{1}{2k}$ på begge sider.
$$
\ln \left(\frac{v-k}{v+k}\right) = -\frac{2pk}{m}t + D
$$
der D blir en ny konstant som er C delt på uttrykket vi delte på begge sider.
Nå er vi nesten i mål, vi bruker eksponentialfunksjonen på begge sider av likningen og får
$$
\frac{v-k}{v+k} = e^{-\frac{2pk}{m}t + D} = Ae^{-\frac{2pk}{m}t}
$$
der A bare er en ny konstant som vi innfører for enklere notasjon. Ikke spesielt hyggelig dette uttrykket. Nå har vi bare litt algebraisk mikking og makking igjen.
$$
v-k = Ae^{-\frac{2pk}{m}t}(v+k)
$$
$$
v - Ae^{-\frac{2pk}{m}t}v = k + kAe^{-\frac{2pk}{m}t}
$$
$$
v\left(1-Ae^{-\frac{2pk}{m}t}\right) = k\left(1+Ae^{-\frac{2pk}{m}t}\right)
$$
som gir den generelle løsningen
$$
v(t) = \frac{k\left(1+Ae^{-\frac{2pk}{m}t}\right)}{1-Ae^{-\frac{2pk}{m}t}}
$$
Initialbetingelsen var v(0) = 0 som gir
$$
v(0) = \frac{k\left(1+Ae^{-\frac{2pk}{m}\cdot 0}\right)}{1-Ae^{-\frac{2pk}{m}\cdot 0}} = \frac{k\left(1+A\right)}{1-A} = 0
$$
Løs denne likningen mhp A og du får
$$
A = -1
$$
Dermed er den endelige løsningen på differensiallikningen (gitt at jeg ikke gjorde noen feil i farta)
$$
v(t) = \frac{k\left(1-e^{-\frac{2pk}{m}t}\right)}{1+e^{-\frac{2pk}{m}t}}
$$
Du må gjerne sette inn hva $k$ er, men det er like gyldig å bare oppgi hva den er ved siden av svaret for å få et penere uttrykk.
Jeg sammenlignet den analytiske løsning mot en numerisk simulering over de 10 første sekundene og grafene matcher, så svaret skal være korrekt.