- Skjermbilde 2018-05-19 kl. 16.24.08.png (365.46 kiB) Vist 1679 ganger
Logaritmeregning uttrykt med u, v, u' og v'
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Vi har at $f(x)=\ln \left ( \frac{u}{v} \right )$
Herifra kan du derivere $f$ på to måter, henholdsvis med å skrive om uttrykket ved å bruke logaritmereglene, og deretter derivere leddvis, eller eventuelt ikke skrive om og bruke brøkregelen og kjerneregelen med en gang. Førstnevnte handler egentlig bare å skrive om å skrive $\ln \left ( \frac{u}{v} \right ) = \ln u - \ln v$, og deretter derivere disse leddvis. Generelt gjelder det at $(\ln u)' = u' \cdot \frac1u$. Deretter finner du felles nevner, og kombinerer de to brøkene til ett brøkuttrykk.
Den andre metoden, nevnt tidligere, er kanskje litt mer tungvindt, men det er alltid nyttig å se flere måter å løse en oppgave på. Vi starter med å bruke kjerneregelen:
$$f'(x) = \left ( \ln \left( \frac{u}{v} \right) \right )' = \left( \frac{u}{v} \right)' \cdot \frac{1}{\left( \frac{u}{v} \right)} = \left( \frac{u}{v} \right)' \cdot \frac{v}{u}$$
Den første faktoren i det siste uttrykket bruker du brøkregelen på, noe som gir at
$$f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2} \cdot \frac{v}{u} = \frac{u'v^2 - uvv'}{v^2u} = \frac{v(u'v - uv')}{v(vu)} = \frac{u'v-uv'}{uv}$$
Herifra kan du derivere $f$ på to måter, henholdsvis med å skrive om uttrykket ved å bruke logaritmereglene, og deretter derivere leddvis, eller eventuelt ikke skrive om og bruke brøkregelen og kjerneregelen med en gang. Førstnevnte handler egentlig bare å skrive om å skrive $\ln \left ( \frac{u}{v} \right ) = \ln u - \ln v$, og deretter derivere disse leddvis. Generelt gjelder det at $(\ln u)' = u' \cdot \frac1u$. Deretter finner du felles nevner, og kombinerer de to brøkene til ett brøkuttrykk.
Den andre metoden, nevnt tidligere, er kanskje litt mer tungvindt, men det er alltid nyttig å se flere måter å løse en oppgave på. Vi starter med å bruke kjerneregelen:
$$f'(x) = \left ( \ln \left( \frac{u}{v} \right) \right )' = \left( \frac{u}{v} \right)' \cdot \frac{1}{\left( \frac{u}{v} \right)} = \left( \frac{u}{v} \right)' \cdot \frac{v}{u}$$
Den første faktoren i det siste uttrykket bruker du brøkregelen på, noe som gir at
$$f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2} \cdot \frac{v}{u} = \frac{u'v^2 - uvv'}{v^2u} = \frac{v(u'v - uv')}{v(vu)} = \frac{u'v-uv'}{uv}$$
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
La $f(x) = \ln u(x)$. Da sier kjerneregelen at $$f'(x) = \frac{\text{d} f}{\text{d} u}\frac{\text{d} u}{\text{d}x} = \frac{1}{u}\cdot u'(x).$$Negua skrev:Det jeg ikke helt skjønner er [tex](ln u)'[/tex] blir [tex]u'\cdot \frac{1}{u}[/tex]
For [tex]ln x[/tex] blir jo [tex]\frac{1}{x}[/tex].
Hvorfor blir det ikke "bare" [tex]\frac{1}{u}[/tex]?
Hvis du skriver $\ln$ med \ foran $\ln$ så vil skriften bli ikke-kursiv og det vil automatisk bli et lite mellomrom.Negua skrev:Ah, stemmer.
På samme måte som [tex](ln x)' = \frac{1}{x} \cdot 1[/tex]
Hvordan får du mellomrom mellom ln og x i editoren?