derivere

[mattenøtta]

Hvordan deriverer jeg dette uttrykket:
[tex]g(x)=ln|tan(\frac{x}{2})|[/tex]
Det skal bli likt f(x)=[tex]\frac{1}{sinx}[/tex]
evt hvordan jeg kan integrere f(x) slik at den blir lik g(x) :/

[Jørrian]

Jeg får noe helt annet, er dette fasiten?

[Aleks855]

Er du kjent med kjerneregelen? Ikke bare kjent, men er du virkelig inneforstått med den? Den letteste måten jeg kan se er å bruke kjerneregelen opptil flere ganger. Bruk også at $\frac{\mathrm d}{\mathrm du} |u| = \frac{u}{|u|}$ for å håndtere absoluttverdiene.

Jeg får noe helt annet, er dette fasiten?

Ja, jeg får svaret til å bli $\csc(x)$, også kjent som $\frac{1}{\sin(x)}$

[Markus]

Angående spørsmålet om hvordan du integrerer $\frac{1}{\sin(x)}$, finnes det flere metoder. En av disse kalles Weierstrass'-substitusjon, og er en veldig kul teknikk som kan gjøre om trigonometriske integrander til rasjonale integrander. Hvis det er av interesse har jeg skrevet litt om ulike integrasjonsteknikker, som for eksempel Weierstrass'-substitusjon, som du kan lese her på side 8 og 9. Ditt eksempel er for øvrig vist på side 9. Dog ikke forvent noe sånt på eksamen i R2, da det ikke er pensum.

[Mattebruker]

Ein kjend norsk matematikar ( hugsar ikkje namnet ) skal ein gong ha uttalt følgjande: Derivasjon er handverk ,
integrasjon erkunst. Det problemet Markus presenterer kan løysast på ein enkel måte ved å apellere til "kunsten":

Innfører sinus til den dobble vinkelen ( sin(2u) = 2 * sin(u) * cos(u) ) og får

sin(x) = sin(2 * x/2) = 2 * sin(x/2) * cos(x/2) = 2 * sin(x/2) * cos[tex]^2[/tex](x/2)/cos(x/2) = 2 * tan(x/2) * cos[tex]^2[/tex](x/2) = tan(x/2) * (2 * cos[tex]^2[/tex](x/2). Når vi plasserer dette utttrykket i nemnar , får vi

1/sin(x) = 1/(tan(x/2) * (2 cos[tex]^2[/tex](x/2))) = tan(x/2)'/(tan(x/2) (brukar kjerne regelen baklengs) = ln(tan(x/2))

[mattenøtta]

Takk for svar!
Begge uttrykkene er skrevet i en oppgave som er hentet fra et forslag til heldagsprøve i R2 fra Aschehoug. Oppgava ber om at jeg skal vise at f'(x)=g(x).

[Markus]

Takk for svar!
Begge uttrykkene er skrevet i en oppgave som er hentet fra et forslag til heldagsprøve i R2 fra Aschehoug. Oppgava ber om at jeg skal vise at f'(x)=g(x).

Da regner jeg med at målet med oppgaven er å se at du kan derivere trig.-funksjoner, og at du kan skrive om enkelte trig.-uttrykk. Jeg tviler på at det noensinne ville blitt gitt et slikt integral på en R2-eksamen, så meningen er nok å derivere. Etter å ha brukt kjerneregelen to ganger får vi at $$g'(x)=\frac{1}{\tan \left ( \frac{x}{2} \right)} \cdot \frac{1 + \tan^2 \left ( \frac{x}{2} \right)}{2} = \frac12 \left ( \frac{1}{\tan \left ( \frac{x}{2} \right)} + \tan \left ( \frac{x}{2} \right) \right ) = \frac12 \left (\frac{\cos \left ( \frac{x}{2} \right)}{\sin \left ( \frac{x}{2} \right)} + \frac{\sin \left (\frac{x}{2} \right)}{\cos \left ( \frac{x}{2} \right)} \right) = \frac12 \left (\frac{\cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right) + \sin^2 \left ( \frac{x}{2} \right )}{\sin \left (\frac{x}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x}{2} \right )} \right)$$
Siden $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, blir teller i brøken $1$, og siden vi av sumformelen for sinus har at $\sin \left (\frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) = \sin(x) = 2\sin \left ( \frac{x}{2} \right) \cos \left ( \frac{x}{2} \right )$, blir nevner i simpelheten bare $\sin(x)$, så vi ender vi endelig opp med $$g'(x)=\frac{1}{\sin(x)}$$ som ønsket.

Edit: Har derivert uten å ta hensyn til absoluttegnet ser jeg.