S2: Geometriske rekker

[Matteidiot321]

Hei, har en oppgave jeg trenger hjelp med:

Tore skriver bok. Den første uka skriver han 12 sider. Dette tallet øker han til 10 % for hver uke som går. Boka blir til slutt på 336 sider.

Hvor lang tid bruker han på hele boka?

[Markus]

Vi får vite at han skriver 12 sider den første uka og 10% mer for hver uke som går. Altså vil han etter 1 uke skrive $12\cdot1.10$ sider i løpet av en uke, etter to uker skrive $(12 \cdot 1.10) \cdot 1.10 = 12 \cdot 1.10^2$ i løpet av en uke, og generelt etter n uker $12 \cdot 1.10^n$. Vi får da en geometrisk rekke hvis vi summerer alle ukene: $$S_n=\sum_{k=0}^{n} 12 \cdot 1.10^k$$ Vi kan bevise at denne summen kan skrives som $$S_n=\frac{12(1-1.10^n)}{1-1.10}$$. Vi ønsker å vite hvor mange uker forfatteren må skrive for å 336 sider. Da setter vi $S_n=336$, og løser mht. $n$. I dette tilfellet er så vidt $n>14$. Men dette vil si at det har gått rett over 14 uker; altså bruker forfatteren litt over 14 uker på å skrive ferdig boken.