I fysikken gjøres dette mye:
dv/dt=dv/dr*dr/dt. Man behandler dette som brøker!
Sett med strigente matte øyner er dettte ok?
Differensiallikninger
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Sett med stringente øyne er det ikke helt 100%, med mindre du definerer $\mathrm dy$ og $\mathrm dx$ med presise matematiske begrep, OG har en klar måte å utføre divisjon på dem.
Å definere dem er allerede gjort. De representerer "differensialformer" (https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form). Men litt mer problematisk er det å definere divisjon på dem, da differensialformer ikke kan deles.
I det tilfellet du nevner, som er kjerneregelen for derivasjon og det faktum at derivasjon er en lineær operasjon (https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map) som gjør at $\mathrm dr$ tilfeldigvis kan strykes fra "teller" og "nevner". Og jeg bruker hermetegn her fordi $\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$ er ikke en brøk. Det er bare en notasjon som tilfeldigvis likner. På samme måte som at tegnet $\times$ betyr en ting når det står mellom to skalare verdier, og en annen ting når det står mellom to vektorer.
En vanlig regneregel for brøker, for eksempel, er at $\left( \frac ab \right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Men $\left( \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \right)^2 = \frac{(\mathrm dy)^2}{(\mathrm dx)^2} \ \ \text{ og } \ \ 2^{\mathrm dy/\mathrm dx} = \sqrt[dx]{2^{dy}}$, men de gir lite mening, så man advares mot å behandle $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ som brøker på generell basis.
Nå må jeg sannsynligvis referere oppfølgingsspørsmål til de med mer rigorøs analyse-utdanning, og forøvrig kan det sikkert pirkes litt på det jeg allerede har sagt også. Men i utgangspunktet er det dette som er grunnen til at man ikke burde se på det som en brøk, men heller se på det som en operator og et argument.
Å definere dem er allerede gjort. De representerer "differensialformer" (https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form). Men litt mer problematisk er det å definere divisjon på dem, da differensialformer ikke kan deles.
I det tilfellet du nevner, som er kjerneregelen for derivasjon og det faktum at derivasjon er en lineær operasjon (https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map) som gjør at $\mathrm dr$ tilfeldigvis kan strykes fra "teller" og "nevner". Og jeg bruker hermetegn her fordi $\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$ er ikke en brøk. Det er bare en notasjon som tilfeldigvis likner. På samme måte som at tegnet $\times$ betyr en ting når det står mellom to skalare verdier, og en annen ting når det står mellom to vektorer.
En vanlig regneregel for brøker, for eksempel, er at $\left( \frac ab \right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Men $\left( \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \right)^2 = \frac{(\mathrm dy)^2}{(\mathrm dx)^2} \ \ \text{ og } \ \ 2^{\mathrm dy/\mathrm dx} = \sqrt[dx]{2^{dy}}$, men de gir lite mening, så man advares mot å behandle $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ som brøker på generell basis.
Nå må jeg sannsynligvis referere oppfølgingsspørsmål til de med mer rigorøs analyse-utdanning, og forøvrig kan det sikkert pirkes litt på det jeg allerede har sagt også. Men i utgangspunktet er det dette som er grunnen til at man ikke burde se på det som en brøk, men heller se på det som en operator og et argument.
Vi kan dele spørsmålet til Pinto i to biter: 1) Er likningen $\frac {dv}{dt} = \frac{dv}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ matematisk gyldig? og 2) Kan vi behandle differensialer som brøker?
Aleks svarer godt på 2) over.
Her er svar på 1):
Likningen $\frac {dv}{dt} = \frac{dv}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ kalles kjerne-regelen (Chain Rule) og bevises ca. slik:
La $v$ være en funksjon av $r$ som igjen er en funksjon av $t$. (Dvs. vi skriver $v(r(t))$.
Så vil vi finne $\frac {dv}{dt}$.
Vi bruker definisjonen for den deriverte:
$\frac {dv}{dt} = \frac {dv(r(t))}{dt} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{h}$
Så ganger vi med en brøk som har verdien $1$ på høyresiden, skrevet på en rar måte:
$\frac {dv}{dt} = \frac {dv(r(t))}{dt} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{h} \cdot \frac{r(t+h) - r(t)}{r(t+h)-r(t)}$
Så omfordeler vi nevnerene:
$\frac {dv}{dt} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{h} \cdot \frac{r(t+h) - r(t)}{r(t+h)-r(t)} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{r(t+h) - r(t)} \cdot \frac{r(t+h) - r(t)}{h}$
Og her ser vi direkte at den første brøken er lik $\frac{dv}{dr}$, og den andre lik $\frac{dr}{dt}$.
Altså: $\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$
Aleks svarer godt på 2) over.
Her er svar på 1):
Likningen $\frac {dv}{dt} = \frac{dv}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ kalles kjerne-regelen (Chain Rule) og bevises ca. slik:
La $v$ være en funksjon av $r$ som igjen er en funksjon av $t$. (Dvs. vi skriver $v(r(t))$.
Så vil vi finne $\frac {dv}{dt}$.
Vi bruker definisjonen for den deriverte:
$\frac {dv}{dt} = \frac {dv(r(t))}{dt} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{h}$
Så ganger vi med en brøk som har verdien $1$ på høyresiden, skrevet på en rar måte:
$\frac {dv}{dt} = \frac {dv(r(t))}{dt} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{h} \cdot \frac{r(t+h) - r(t)}{r(t+h)-r(t)}$
Så omfordeler vi nevnerene:
$\frac {dv}{dt} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{h} \cdot \frac{r(t+h) - r(t)}{r(t+h)-r(t)} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ v(r(t+h)) - v(r(t))}{r(t+h) - r(t)} \cdot \frac{r(t+h) - r(t)}{h}$
Og her ser vi direkte at den første brøken er lik $\frac{dv}{dr}$, og den andre lik $\frac{dr}{dt}$.
Altså: $\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$