Feil i løsning av ulikheter med fortegnslinje

[omarelhajj97]

Hei. Jeg studerer R1 som privatist, og noen ganger får jeg ikke til ulikheter som har mer enn to faktorer og som må løses med fortegnslinjer. Jeg kan vise det med to eksempler.

Sinus R1, opp. 2.44c
[tex]\frac{2lg(x)-3}{lg(x)}>lg(x)[/tex]

Det første jeg gjør er å faktorisere:
[tex]\frac{2lgx-3}{lgx-2}-lgx>0[/tex]
[tex]\frac{2*lgx-3-(lgx)^2+2lgx}{lgx-2}>0[/tex]
[tex]\frac{-(lgx)^2+4lgx-3}{lgx-2}>0[/tex]
[tex]\frac{(lgx-1)(lgx-3)}{lgx-2}>0[/tex]

Så finner jeg for hvilke verdier av [tex]x[/tex] hver av faktorene gjelder i ulikheten:
For [tex]lgx-1[/tex] :
[tex]lgx-1>0[/tex]
[tex]lgx>1[/tex]
[tex]lgx>lg10^1[/tex]
[tex]x>10[/tex]
For [tex]lgx-3[/tex] :
[tex]lgx-3>0[/tex]
[tex]lgx>3[/tex]
[tex]lgx>lg10^3[/tex]
[tex]x>1000[/tex]
For [tex]lgx-2[/tex] :
[tex]lgx-2>0[/tex]
[tex]lgx>2[/tex]
[tex]lgx>lg10^2[/tex]
[tex]x>100[/tex]

Og nå er det bare å tegne det i fortegnslinja:
[tex]lgx-1>0[/tex] for [tex]\forall x>10[/tex]
[tex]lgx-3>0[/tex] for [tex]\forall x>1000[/tex]
[tex]lgx-2>0[/tex] for [tex]\forall x>100[/tex]

30142935167_752ce7823e_k.jpg (221.44 kiB) Vist 2002 ganger

Men resultatet er feil. Jeg får at ulikheten er sann når [tex]10<x<100 \vee x>1000[/tex], mens svaret er at den er sann når [tex]0<x<10\vee 100<x<1000[/tex].

Et annet eksempel:
Sinus R1, opp. 2.63c
[tex]\frac{4e^{x}-3}{2e^{x}-1}< e^{x}[/tex]

Igjen, faktorisering først:
[tex]\frac{4e^x-3-e^x(2e^x-1)}{2e^x-1}<0[/tex]
[tex]\frac{4e^xx-3-2(e^x)^2+e^x}{2e^x-1}<0[/tex]
[tex]\frac{-2(e^x)^2+5e^x-3}{2e^x-1}<0[/tex]
[tex]\frac{(e^x-1)(e^x-\frac{3}{2})}{2e^x-1}<0[/tex]

Så finner jeg for hvilke verdier av [tex]x[/tex] hver av faktorene gjelder i ulikheten:
For [tex]e^x-1[/tex] :
[tex]e^x-1<0[/tex]
[tex]e^x<1[/tex]
[tex]x<ln1[/tex]
[tex]x<1[/tex]
For [tex]e^x-\frac{3}{2}[/tex] :
[tex]e^x-\frac{3}{2}<0[/tex]
[tex]e^x<\frac{3}{2}[/tex]
[tex]x<ln\frac{3}{2}[/tex]
For [tex]2e^x-1[/tex] :
[tex]2e^x-1<0[/tex]
[tex]2e^x<1[/tex]
[tex]e^x<\frac{1}{2}[/tex]
[tex]x<ln\frac{1}{2}[/tex]
[tex]x<-ln2[/tex]

Så tegner jeg det i fortegnslinja:
[tex]e^x-1<0[/tex] for [tex]\forall x<0[/tex]
[tex]e^x-\frac{3}{2}<0[/tex] for [tex]\forall x<ln\frac{3}{2}[/tex]
[tex]2e^x-1<0[/tex] for [tex]\forall x<-ln2[/tex]

30143779497_74d1aafb94_k.jpg (220.8 kiB) Vist 2002 ganger

Igjen, jeg får det motsatte av det riktige svaret. Men jeg klarer ikke å se hvor jeg gjør feil. Kanskje noen her kan hjelpe meg med å finne feilen?
Tusen takk

[fjedjik]

Jeg har ikke sett gjennom alt, men jeg tror du gjør en vesentlig feil i faktoreringsprosessen.

Du faktoriserer brøker med negativt fortegn på (lgx)^2 og (e^x)^2, og det er en ulikhet. Jeg ser at du i det første eksempelet har ganget med -1 på begge sider.

Dette har du skrevet:

[tex]\frac{-(lgx)^2+4lgx-3}{lgx-2}>0[/tex]

[tex]\frac{(lgx-1)(lgx-3)}{lgx-2}>0[/tex]

Men her har du glemt en viktig del. Siden du i prosessen har gjort om brøken til positiv på (lgx)^2 leddet (ganget med -1), må du snu ulikhetstegnet.

[tex]\frac{-(lgx)^2+4lgx-3}{lgx-2}>0[/tex]

[tex]\frac{(lgx-1)(lgx-3)}{lgx-2}< 0[/tex]

[omarelhajj97]

Hei fjedjik, og takk for svaret

Det du sier gir mening, men jeg kommer på resultatet på en litt forskjellig måte, kanskje er det der at jeg gjør feil.
Hvis man ganger begge sidene av ulikheten med [tex]-1[/tex], som du sier, så får man [tex]\frac{(lgx)^2-4lgx+3}{lgx-2}<0[/tex] .
Og det kan faktoriseres som [tex]\frac{(lgx-3)(lgx-1)}{lgx-2}<0[/tex] .
Men det jeg har gjort er å finne nullpunktene til polynomet før det ble ganget med [tex]-1[/tex]. Nullpunktene er [tex]1[/tex] og [tex]3[/tex], og dermed bør hele uttrykket kunne faktoriseres som [tex]\frac{(lgx-3)(lgx-1)}{lgx-2}>0[/tex] .
Se, jeg har fått det samme resultatet uten å gange med et negativt tall!

Bør jeg alltid sørge for å få tallet med det høyeste eksponent i polynomet til å bli positivt før jeg faktoriserer?

[fjedjik]

Hei fjedjik, og takk for svaret

Det du sier gir mening, men jeg kommer på resultatet på en litt forskjellig måte, kanskje er det der at jeg gjør feil.
Hvis man ganger begge sidene av ulikheten med [tex]-1[/tex], som du sier, så får man [tex]\frac{(lgx)^2-4lgx+3}{lgx-2}<0[/tex] .
Og det kan faktoriseres som [tex]\frac{(lgx-3)(lgx-1)}{lgx-2}<0[/tex] .
Men det jeg har gjort er å finne nullpunktene til polynomet før det ble ganget med [tex]-1[/tex]. Nullpunktene er [tex]1[/tex] og [tex]3[/tex], og dermed bør hele uttrykket kunne faktoriseres som [tex]\frac{(lgx-3)(lgx-1)}{lgx-2}>0[/tex] .
Se, jeg har fått det samme resultatet uten å gange med et negativt tall!

Bør jeg alltid sørge for å få tallet med det høyeste eksponent i polynomet til å bli positivt før jeg faktoriserer?

Funksjonen kan ikke både være

[tex]\frac{(lgx-3)(lgx-1)}{lgx-2}<0[/tex]

og

[tex]\frac{(lgx-3)(lgx-1)}{lgx-2}>0[/tex]

Det gir ikke mening matematisk. Ingen tall kan både være større og mindre enn null på samme tid.

Du trenger forsåvidt ikke å gjøre tallet med høyest eksponent til å bli positivt, men da må du i dette eksempelet skrive det slik:

[tex]\frac{-1(lgx-3)(lgx-1)}{lgx-2}>0[/tex]

Her får du en ekstra faktor som må være med i fortegnlinjen din, og som endrer alle fortegn.

Når du faktoriserer et polynom må du kunne gange sammen parantesene igjen og få det samme du startet med, og det får man ikke slik du har gjort det.

[omarelhajj97]

Takk for svaret ditt.

Indeed, det gir mening. Jeg har faktorisert på feil måte.

Nå er jeg usikker på hva man skal gjøre når en faktor er konstant og gjelder aldri i ulikheten. For eksempel, her han man [tex]-1[/tex] som faktor, og ulikheten [tex]-1>0[/tex] er aldri sann. Når jeg får en slik konstant ulikhet som er sann, f.eks. [tex]-1<0[/tex], så legger jeg til bare et positivt strek for hele linjen, og det gjør selvfølgelig ingen forskjell for uttrykket ([tex]+*+=+[/tex] ; [tex]+*-=-[/tex]). Men hva gjør jeg når ulikheten er aldri sann? Det er ikke logisk å sette et negativt strek, for ulikheten blir ikke sann for verdier av [tex]x<0[/tex].

[fjedjik]

Jeg forstår ikke helt hva du mener.

Kan du gi et eksempel eller omformulere deg?

Positiv og negativ strek - er det fortegnslinje du tenker på?

[omarelhajj97]

Ja, det er fortegnslinje jeg tenker på. Nå at jeg har uttrykket
[tex]\frac{-(lgx-3)(lgx-1)}{lgx-2}>0[/tex] ,
må jeg sjekke for hvilke verdier av [tex]x[/tex] hver av faktorene gjelder i ulikheten. En av faktorene er [tex]-1[/tex], og den er aldri [tex]>0[/tex], uansett hva [tex]x[/tex] blir. Hva gjør man i fortegnslinjen i en slik tilfelle? Hvis jeg bare lar det tomt for [tex]-1>0[/tex], så kommer resultatet til å bli feil.