R2-Kombinasjonsfunksjon (sinus og e^x)

[anjafur]

Oppgaven er vist i bildet.
Har lagt inn ett bilde av hva jeg har gjort, men ble forvirret når jeg fikk at tanx=3, og så lurte jeg på når (e^x)*(sin^2x) har nullpunkt.
Hjelp?

[DennisChristensen]

Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i annen kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.

[anjafur]

Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i tredje kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.

Hvordan kan jeg finne ut hva tan^-(-3) er uten hjelpemidler?

[anjafur]

Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i tredje kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.

Du sier at tanx=-3 har løsning/linja y=-3x ligger i tredje kvadrant, men er ikke tangens positiv i tredje kvadrant?

[DennisChristensen]

Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i tredje kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.

Du sier at tanx=-3 har løsning/linja y=-3x ligger i tredje kvadrant, men er ikke tangens positiv i tredje kvadrant?

Beklager forvirringen! Jeg mente selvsagt annen kvadrant.

[anjafur]

Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i tredje kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.

Du sier at tanx=-3 har løsning/linja y=-3x ligger i tredje kvadrant, men er ikke tangens positiv i tredje kvadrant?

Beklager forvirringen! Jeg mente selvsagt annen kvadrant.

Okay, takk. Men vet du hvordan jeg kan finne ut av hva tanx=-3 blir uten hjelpemidler?

[DennisChristensen]

Okay, takk. Men vet du hvordan jeg kan finne ut av hva tanx=-3 blir uten hjelpemidler?

Bare skriv på eksakt form, $\tan^{-1}(-3)$.

[anjafur]

Okay, takk. Men vet du hvordan jeg kan finne ut av hva tanx=-3 blir uten hjelpemidler?

Bare skriv på eksakt form, $\tan^{-1}(-3)$.

I følge fasiten skal x-verdien bli 3pi/4. Betyr det at y=-3x skjærer enhetsirkelen i -1 som gir eksakt løsning 3pi/4?

(Forresten er sin^2x=0 når x=pi? Forsto ikke helt den biten, men glemte å spørre)

[DennisChristensen]

Okay, takk. Men vet du hvordan jeg kan finne ut av hva tanx=-3 blir uten hjelpemidler?

Bare skriv på eksakt form, $\tan^{-1}(-3)$.

I følge fasiten skal x-verdien bli 3pi/4. Betyr det at y=-3x skjærer enhetsirkelen i -1 som gir eksakt løsning 3pi/4?

(Forresten er sin^2x=0 når x=pi? Forsto ikke helt den biten, men glemte å spørre)

Fasiten er feil. Egentlig har $\tan^{-1}$-funksjonen $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ som sin fundamentale verdimengde, så svaret bør strengt tatt skrives som $\tan^{-1}(-3) + \pi$, men på videregående tar man gjerne ikke hensyn til slike detaljer.

Nullpunktene til sinusfunksjonen finner du enkelt om du undersøker enhetssirkelen. Når er $y$-koordinaten til et punkt på sirkelen lik $0$? Svaret er når punktet har et vinkelutslag på $\pi n$, der $n$ er et heltall. Det følger at $\sin \pi = 0$.

[anjafur]

Tusen takk for all hjelpen! Skal ta opp at fasiten er feil med læreren, ettersom dette er en oppgave fra en hjemmeregning.

[DennisChristensen]

Tusen takk for all hjelpen! Skal ta opp at fasiten er feil med læreren, ettersom dette er en oppgave fra en hjemmeregning.

Du kan jo selv tegne grafen med digitalt verktøy. Undersøk hvilke linjer som definerer toppunktet: $x = \frac{3\pi}{4}$ eller $x=\tan^{-1}(-3) + \pi$.